第六节：用正交变换化二次型为标准型

用正交变换化二次型为标准型2.把二次型化标准型的根据与步骤：要使二次型经可逆线性变换变成标准形，这就是要使2221123112212(,,,)TTnnnnnyCACykykykykykyyyykyTCAC也就是要使因此，上述等价的问题就是：对于对称阵A寻求可逆矩阵C使得：为对角阵。这个问题称为把对称阵A合同对角化TCAC成为对角阵。-1TPAP=PAP=由上节定理5。8知，任给对称阵A总有正交阵P，使。把此结论应用于二次型，即有,1()nijijijjiijfaxxaaxPy2221122nnfyyy12,,,n()()TTfxxAxAAxCz()fCz定理5.9任给二次型使之化为标准形其中推论任给n元二次型使为规范形。总有正交变换是f的矩阵A的特征值()()TTfxxAxAA总有正交变换11'nPAPPAPxPy2221122nnfyyy用正交变换化二次型为标准形的步骤为：（1）.写出f对应的实对称矩阵A（2）.寻找正交矩阵P，；（3）.则正交变换使。xPy121323222fxxxxxx011101110A例5.5.1求一个正交变换把二次型化为标准形。解：二次型的矩阵为11132611132612036P200010001TPAP这与例5.4.1所给矩阵相同。按例5.4.1的结果，有正交阵使，于是有正交变换11223311132611132612036xyxyxy2221232fyyy，把二次型f化成标准形11223312yzyzyz222123fzzz如果要把二次型化成规范形只需令：则得f的规范形为：123122313(,,)222fxxxxxxxxx123(,,)1fxxx例5.5.2用正交变换将二次型化为标准形．若设，问该曲面为何种类型的曲面.011101110A21111(1)(2)11AI解：二次型的矩阵为1,231,2121()0AIx12(1,0,1),(1,2,1)TTxx1211(1,0,1),(1,2,1)26TT得A的特征值为：当求解因为它们已正交，故只需单位化为。，得两个线性无关的特征向量为32(2)0AIx3(1,1,1)Tx31(1,1,1)3T12311126321(,,)063111263C当求解得一个解单位化得所求正交矩阵xCy11231232233123111,26321(,,),63111.263xyyyCxyyxyyy2221232fyyy正交变换为化f为标准形显然，由解析几何知道，这是一个单叶双曲面方程。注:如果要画出上述曲面的几何图形，则要求出相应的坐标旋转变换，请参考有关空间解析几何关于坐标轴旋转的有关结论。