高一数列辅优：递推数列求通项公式的习题(6种题型)(学生用)2012.6.23

数列专题复习---------------------------------------------------------------------------由递推数列到通项公式2012.6第1页共2页递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1)(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。练习:已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式变式:已知数列1}{1aan中，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（1）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.类型2nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。练习1:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。练习2:已知数列{an}，满足a1=1，1321)1(32nnanaaaa(n≥2)，则{an}的通项1___na12nn类型3qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列na中，11a，321nnaa，求na.练习1：已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）若数列{bn}滿足12111*444(1)(),nnbbbbnanN证明：数列{bn}是等差数列；类型4nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再待定系数法解决。例:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。数列专题复习---------------------------------------------------------------------------由递推数列到通项公式2012.6第2页共2页变式:设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT类型5递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,，求数列na的通项公式。例:已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。变式:1.已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；（III）若数列nb满足12111*44...4(1)(),nnbbbbnanN证明nb是等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆类型6递推公式为nS与na的关系式(或()nnSfa)解法：这种类型一般利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。例：已知数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.变式:已知正项数列na，其前n项和Sn满足21056nnnSaa且1315,,aaa成等比数列，求数列na的通项na变式:已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，⑴设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；⑵设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；⑶求数列na的通项公式及前n项和。变式:已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3,23,1),3()21(211SSnn且求数列{an}的通项公式.