高一数学2014-2015高中数学必修4第二章 平面向量单元测试题及答案解析

第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式：①|a＋b|＝|a|＋|b|；②|a－b|＝±(|a|－|b|)；③a2|a|2；④|a·b|＝|a|·|b|.其中正确的个数为()A．0B．2C．3D．42．下列命题中，正确的是()A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反C．a＝(－3,1)与b＝(－2，－5)方向相反D．a＝(2,4)与b＝(－3,1)的夹角为锐角3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.7B.10C.13D．44．已知向量a＝8＋12x，x，b＝(x＋1,2)，其中x0，若a∥b，则x的值为()A．8B．4C．2D．05．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则AP→·(PB→＋PC→)等于()A.49B.43C．－43D．－496．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．37．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为()A.34B.537C.2537D.537379．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝()A.14a＋12bB.23a＋13bC.12a＋14bD.13a＋23b10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(－3,1)，B点坐标为12，32，则C点坐标为()A．(1，－3)B.－54，54C．(4,2)D．(－2,4)11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是()A.0，π6B.π3，πC.π3，2π3D.π6，π12．在△ABC所在平面内有一点P，如果PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PAB与△ABC的面积之比是()A.13B.12C.23D.34二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，3)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.14．假设|a|＝25，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________.15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB→·AC→＝BA→·BC→＝2，那么c＝__________.16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.(1)当m为何值时，c与d垂直？(2)当m为何值时，c与d共线？18．(12分)如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA→＝(4，－4)，OB→＝(5,1)，OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|，求MB→的坐标．21．(12分)如图，在平面斜坐标系xOy中．∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP→＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)．(1)若点P的斜坐标为(2，－2)，求点P到O的距离|OP|；(2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．22．(12分)如图，在四边形ABCD中，BC→＝λAD→(λ∈R)，|AB→|＝|AD→|＝2，|CB→－CD→|＝23，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．(1)求λ的值；(2)求CB→·BA→的值．1.解析对于①仅当a与b同向时成立．对于②左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案A2.解析在B中，a＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b，∴a与b方向相反．答案B3.解析∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋9b2＋6a·b＝1＋9＋6|a||b|cos60°＝13，∴|a＋3b|＝13.答案C4.解析∵a∥b，∴(8＋12x)×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16，又x0，∴x＝4.答案B5.解析M为BC的中点，得PB→＋PC→＝2PM→＝AP→，∴AP→·(PB→＋PC→)＝AP→2.又∵AP→＝2PM→，∴|AP→|＝23|AM→|＝23.∴AP→2＝|AP→|2＝49.答案A6.解析8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c＝(3，x)，∴(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x.又(8a－b)·c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4.答案C7.解析依题意可设a＋2b＝λa(λ0)，则b＝12(λ－1)a，∴a·b＝12(λ－1)a2＝12(λ－1)×2＝λ－1－1.答案B8.解析∵(3e1＋4e2)·e1＝3e21＋4e1·e2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e1＋4e2|2＝9e21＋16e22＋24e1·e2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e1＋4e2|＝37.设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，则cosθ＝537×1＝537.答案D9.解析如图所示，AF→＝AD→＋DF→，由题意知，DE：BE＝DF：BA＝1：3.∴DF→＝13AB→.∴AF→＝12a＋12b＋13(12a－12b)＝23a＋13b.答案B10.解析设a与b的夹角为θ，∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，∴a·b≤|a|24，∴cosθ＝a·b|a||b|≤|a|24|a||b|＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈π3，π.答案B11.解析设C(x，y)，则由AB→＝BC→，得12－－3，32－1＝x－12，y－32，∴x－12＝72，y－32＝12，⇒x＝4，y＝2，∴C(4,2)．答案C12.解析因为PA→＋PB→＋PC→＝AB→＝PB→－PA→，所以2PA→＋PC→＝0，PC→＝－2PA→＝2AP→，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示)．所以△PAB与△ABC的面积之比是13.答案A13.解析由a∥b，得23cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0，∴tanθ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6.答案π6或76π14.解析设a＝(x，y)，则有x2＋y2＝20.①又a⊥b，∴a·b＝0，∴－x＋3y＝0.②由①②解得x＝32，y＝2，或x＝－32，y＝－2，∴a＝(32，2)，或a＝(－32，－2)．答案(32，2)或(－32，－2)15.解析由题知AB→·AC→＋BA→·BC→＝2，即AB→·AC→－AB→·BC→＝AB→·(AC→＋CB→)＝AB→2＝2⇒c＝|AB→|＝2.答案216.解析当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD＝60°，AC→＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠BAC＝30°.答案②17.解(1)令c·d＝0，则(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，即3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a·b＝0，解得m＝2914.故当m＝2914时，c⊥d.(2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b)即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0，∵a，b不共线，∴3－λm＝0，5＋3λ＝0，解得λ＝－53，m＝－95.故当m＝－95时，c与d共线．18.证明设此等腰直角三角形的直角边长为a，则AD→·CE→＝(AC→＋CD→)·(CA→＋AE→)＝AC→·CA→＋CD→·CA→＋AC→·AE→＋CD→·AE→＝－a2＋0＋a·223a·22＋a2·223a·22＝－a2＋23a2＋13a2＝0，∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE.19.解设D点坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)，∵D在直线BC上，即BD→与BC→共线，∴存在实数λ，使BD→＝λBC→，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴x－3＝－6λ，y－2＝－3λ，∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴AD→·BC→＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0.∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②由①②可得x＝1，y＝1.∴|AD→|＝1－22＋22＝5，即|AD→|＝5，D(1,1)．20.解设点M的坐标为M(x，y)．∵OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|，∴OM→⊥MB→，∴OM→·MB→＝0.又OM→＝(x，y)，MB→＝(5－x,1－y)，∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.又点O，M，A三点共线，∴OM→∥OA→.∴x4＝y－4.∴x5－x＋y1－y＝0，x4＝y－4，解得x＝2，y＝－2.∴MB→＝OB→－OM→＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21.解(1)因为点P的斜坐标为(2，－2)，故OP→＝2e1－2e2，|OP→|2＝(2e1－2e2)2＝8－8e1·e2＝8－8cos60°＝4，∴|OP→|＝2，即|OP|＝2.(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则OM→＝xe1＋ye2，又|OM→|＝1.故(xe1＋ye2)2＝1.∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1.即x2＋y2＋xy＝1.故所求方程为x2＋y2＋xy－1＝0.22.解(1)因为BC→＝λAD→，所以BC∥AD，且|BC→|＝λ|AD→|.因为|AB→|＝|AD→|＝2，所以|BC→|＝2λ.又|CB→－CD→|＝23，所以|BD→|＝23.作AH⊥BD交BD于H，则H为BD的中点．在Rt△AHB中，有cos∠ABH＝BHAB＝32，于是∠ABH＝30°，所以∠ADB＝∠DBC＝30°.而∠BDC＝90°，所以BD＝BC·cos30°，即23＝2λ·32，解得λ＝2.(2)由(1)知，∠ABC＝60°，|CB→|＝4，所以CB→与BA→的夹角为120°，故CB→·BA→＝|CB→|·|BA→|cos120°＝－4.