锐角三角函数--正弦

第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第1课时1.理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值就固定（即正弦值不变）这一事实.2.理解正弦的概念.问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°,BC＝35m，求AB.ABC在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ABC50m35mB'C'根据“直角三角形中，30度角所对的边等于斜边的一半”，即，得AB′=2B′C′=100m.ABCBC1ABAB2的对边斜边结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于2.2如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？ABBCABC综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.2122一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？结论：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系．你能解释一下吗？ABBC''''BACBABCA'B'C'两个三角形相似，对应边成比例，故比值相等.这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．结论：定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA即caAA斜边的对边sin例如，当∠A＝30°时，我们有2130sinsinA当∠A＝45°时，我们有2245sinsinAABCb对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABCABC13534求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比。【例2】如图，在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6，求BC的长.200ACB┌【解析】在Rt△ABC中,BCBCsinA0.6,AC200BC2000.6120.【例题】1.判断对错:A10m6mBC(1)如图sinA=（）②sinB=.（）③sinA=0.6m.（）④sinB=0.8.（）√√××sinA是一个比值，无单位.(2)如图，sinA=（）×【跟踪训练】2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C11003.如图ACB3730°，则sinA=______.121.（温州·中考）如图，在△ABC中，∠C=90°,AB=13，BC=5，则sinA的值是（）A.B.C.D.1351312125513【解析】选A．由正弦的定义可得BC5sinA.AB132.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=_____.4.如图,在Rt△ABC中,则sinA=___.ACBa3,b3542122求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值.5.如图,∠C=90°CD⊥AB.sinB可以用哪两条线段之比表示?若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.┌ACBD表示.∵∠B=∠ACD，∴sinB=sin∠ACD.在Rt△ACD中，AD=sin∠ACD=∴sinB=2222ACCD534－－，AD4,AC54.5【解析】sinB可以用或或CDBCACABADAC1222正弦的定义:ABC∠A的对边┌斜边斜边∠A的对边sinA=sin30°=sin45°=奋斗就是生活，人生只有前进.——巴金