北京第四十三中学高三数学(文科)周考试卷9.10

第1页共16页1o356xy11北京第四十三中学高三数学（文科）周考试卷2012.9.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知(,)2,1tan()47,那么cossin的值为（）（A）51（B）57（C）57（D）432.函数1)4(cos22xy是（）A．最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数3.已知曲线42xy的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（）A.1B.2C.3D.44.曲线21cossinsinxxxy在点)0,4(M处的切线的斜率为（）A.21B.21C.22D.225.设函数f(x)=2x+lnx则（）A．x=12为f(x)的极大值点B．x=12为f(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点6.已知0,0,直线x=4和x=54是函数()sin()fxx图像的两条相邻的对称轴,则=（）A．π4B．π3C．π2D．3π47.已知函数sinyx(0,0)2的部分图象如图所示，则点P,的坐标为（A）(2,)3（B）(2,)6（C）1(,)23（D）1(,)26学校班级姓名学号号第2页共16页28.对函数()sinfxxx，现有下列命题：①函数()fx是偶函数；②函数()fx的最小正周期是2；③点(,0)是函数()fx的图象的一个对称中心；④函数()fx在区间0,2上单调递增，在区间,02上单调递减。其中是真命题的是（）A．①④B．②④C．②③D．①③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9.已知sincos2,(0,π),则sin2=________10.在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则△ABC的面积是________11.曲线(3ln1)yxx在点(1,1)处的切线方程为________12.函数y=12x2㏑x的单调递减区间为_______13.已知f(α)＝sinπ－α·cos2π－αcos－π－α·tanπ－α，则f(－31π3)的值为________14.设0)(xxf在处可导，下列式子中与)(x0'f相等的是______（1）xxxfxfx2)2()(000lim（2）xxxfxxfx)()(000lim（3）xxxfxxfx)()2(000lim（4）xxxfxxfx)2()(000lim第3页共16页3答题纸一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9.10.11.12.13.14.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．15.已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2-a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数2cos2cos2sin3)(2xxxxf，求)(Bf的值域．题号12345678答案第4页共16页416.已知函数f(x)＝23sinx·cosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值第5页共16页517.已知函数),()1(31)(223Rbabxaaxxxf.（Ⅰ）若1x为)(xf的极值点，求a的值；（Ⅱ）若)(xfy的图象在点（)1(,1f）处的切线方程为03yx，求)(xf在区间]4,2[上的最大值；（Ⅲ）当0a时，若)(xf在区间)1,1(上不单调，求a的取值范围.第6页共16页618.已知函数32()fxxaxxc，且2'()3af．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数)(xf的单调区间；（Ⅲ）设函数xexxfxg])([)(3，若函数)(xg在]2,3[x上单调递增，求实数c的取值范围．第7页共16页719.已知函数)0(121)1ln()(2aaxxxaxf．（Ⅰ）求函数)(xfy在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调区间和极值．第8页共16页820.已知0)(xbxaxxf，其中Rba,(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)的单调性；（3）若对于任意的]2,21[a，不等式10)(xf在]1,41[上恒成立，求b的取值范围．第9页共16页9答案BAABDAAA-133430xy(0,1]21（1）（3）15.解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得cosA=12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分)……3分∵0Aπ（或写成A是三角形内角）………………4分∴3A．……………………5分（Ⅱ）2cos2cos2sin3)(2xxxxf311sincos222xx…………7分1sin()62x，……………………9分∵3A∴2(0,)3B∴5666B………10分∴当62B，即3B时，()fB有最大值是23．…………13分16.11．【解】(1)f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)．所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin(2x＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f(0)＝1，f(π6)＝2，f(π2)＝－1，所以函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋π6)．又因为f(x0)＝65，所以sin(2x0＋π6)＝35.由x0∈[π4，π2]，得2x0＋π6∈[2π3，7π6]．第10页共16页10从而cos(2x0＋π6)＝－1－sin22x0＋π6＝－45.所以cos2x0＝cos[(2x0＋π6)－π6]＝cos(2x0＋π6)cosπ6＋sin(2x0＋π6)sinπ6＝3－4310.17.（宣武一模）18.解：（Ⅰ）由32()fxxaxxc，得2'()321fxxax．当32x时，得22222'()3()2'()()13333aff，解之，得1a．……………………4分（Ⅱ）因为32()fxxxxc．从而21'()3213()(1)3fxxxxx，列表如下：x)31,(31)1,31(1),1()('xf＋0－0＋)(xf↗有极大值↘有极小值↗所以)(xf的单调递增区间是)31,(和),1(；)(xf的单调递减区间是)1,31(．……………………9分（Ⅲ）函数32()(())()xxgxfxxexxce，有2')(21)()xxgxxexxce（=2(31)xxxce，因为函数在区间]2,3[x上单调递增，等价于2()310hxxxc在]2,3[x上恒成立，只要0)2(h，解得11c，所以c的取值范围是11c．……………………14分19.解：（Ⅰ）(0)1f,/(1)()11axxafxxaxx,…………第11页共16页11……2分/(0)0f所以函数)(xfy在点(0,(0))f处的切线方程为1y………………4分（Ⅱ）函数的定义域为(1,)令()0fx,得(1)01xxax解得：0,1xxa…………………5分当1a时,列表：x(-1,0)0(0,1)a1a(1,)a)(/xf+0-0+)(xf↗极大↘极小↗可知)(xf的单调减区间是(0,1)a，增区间是(-1,0)和(1,)a；极大值为(0)1f,极小值为213(1)ln22faaaa…………………8分当01a时,列表：x(1,1)a1a(1,0)a0(0,))(/xf+0-0+)(xf↗极大↘极小↗可知)(xf的单调减区间是(1,0)a，增区间是(1,1)a和(0,)；极大值为213(1)ln22faaaa,极小值为(0)1f…………………11分第12页共16页12当1a时,()0fx可知函数)(xf在(1,)上单增,无极值…………………13分解析：(1)f′(x)＝1－ax2，由导数的几何意义得f′(2)＝3，于是a＝－8.由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上可得－2＋b＝7，解得b＝9.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－8x＋9.(2)f′(x)＝1－ax2.当a≤0时，显然f′(x)0(x≠0)．这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上内是增函数．当a0时，令f′(x)＝0，解得x＝±a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－a)－a(－a，0)0(0，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－/－0＋f(x)递增极大值递减/递减极小值递增所以f(x)在(－∞，－a)，(a，＋∞)内是增函数，在(－a，0)，(0，a)内是减函数．第13页共16页13（下次备选）（2011东城一模理18）（本小题共13分）已知函数2()ln,()xxfxxxgxee．(3)由(2)知，f(x)在14，1上的最大值为f14与f(1)的较大者，对于任意的a∈12，2，不等式f(x)≤10在14，1上恒成立，当且仅当f14≤10，f1≤10，即b≤394－4a，b≤9－a对任意的a∈12，2成立．从而得b≤74.所以满足条件的b的取值范围是－∞，74.第14页共16页14（Ⅰ）求函数()fx在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意,(0,)mn，都有()()fmgn成立．（Ⅰ）解：由()lnfxxx，可得()ln1fxx．当1(0,),()0,()xfxfxe单调递减，当1(,),()0,()xfxfxe单调递增.所以函数()fx在区间[1,3]上单调递增，又(1)0f，所以函数()fx在区间[1,3]上的最小值为0．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知()ln((0,))fxxxx在1xe时取得最小值，又11()fee，可知1()fme．由2()xxgxee，可得1'()xxgxe．所以当(0,1),'()0,()xgxgx单调递增，当(1,),'()0,()xgxgx单调递减.所以函数()(0)gxx在1x时取得最大值，又1(1)ge，可知1()gne，所以对任意,(0,)mn，都有()()fmgn成立．已知函数2(1)()axfxx，其中0a.（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；第15页共16页15（Ⅱ）若直线10xy是曲线()yfx的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设2()ln()gxxxxfx，求()gx在区间[1,e]上的最大值.（其中e为自然对数的底数）解：（Ⅰ）3(2)()axfxx，（0x），……………3分在区间(,0)和(2,)上，()0fx；在区间(0,2)上，()0fx.所以，()fx的单调递减区间是(,0)和(2,)，单调递增区间是(0,2).………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)xy，则002000030(1)10(2)1axyxxyaxx……………7