2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第22讲平面向量的概念及运算

第五章平面向量2012高考调研考纲要求1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．2．掌握向量的加法和减法．3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．6．掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式．7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．考情分析近几年高考数学试卷中平面向量的题型多以选择题为主，重点考查向量的概念，向量的几何表示，向量的加法和减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要条件，向量的坐标运算以及平面向量的数量积及其几何意义，平面两点间的距离公式，线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式．在解答题中向量作为一种工具在解析几何、三角函数、数列及立体几何中均有运用．分析高考试题，对本章突出考查以下内容：一方面突出考查向量的基本运算，向量平行、垂直的充要条件，但难度均不大，大多以填空题、选择题形式出现，但随着数学改革的不断推进，向量逐渐与其他知识点综合考查，增强了向量的工具性；另一方面是三角形中正弦定理、余弦定理与三角恒等变形的综合应用．第二十二讲平面向量的概念及运算回归课本1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的表示方法(1)字母表示法，如：a，AB→等．(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量．(3)代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA→的起点O在坐标原点，终点坐标为(x，y)，则(x，y)称为OA→的坐标，记为OA→＝(x，y)．3．向量的加法和减法(1)加法①法则：三角形法则，平行四边形法则，加法定义即平行四边形法则，以a，b为邻边作平行四边形ABCD(取同一个起点)，即AB→＝a，AD→＝b，则AC→即为a，b的和．②运算性质：a＋b＝b＋a(交换律)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)；a＋0＝0＋a＝a.③加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示(2)减法①法则：三角形法则．②几何意义：如下图所示4．实数与向量的积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.5．两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.6．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．考点陪练1.(2010·全国Ⅱ)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD→＝()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b答案：B解析：如图，CD平分∠ACB，由角平分线定理得ADDB＝ACBC＝|b||a|＝2，所以AD→＝2DB→＝23AB→，所以CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b.答案：A2．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→＝()A．2OA→－OB→B．－OA→＋2OB→C.23OA→－13OB→D．－13OA→＋23OB→解析：2AC→＋CB→＝0，∴2(OC→－OA→)＋(OB→－OC→)＝0，∴OC→＝2OA→－OB→.3．给出下列命题：①零向量是唯一没有方向的向量；②平面内的单位向量有且仅有一个；③a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量；④相等的向量必是共线向量．其中正确命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：向量是既有大小又有方向的量，所以零向量必有方向，又规定零向量与任一向量平行，所以零向量是唯一的一个方向不确定的向量，故命题①是错误的；答案：A对平面内的任一向量a而言，由于|a|a||＝1，∴a|a|即是一个单位向量，由a的任意性，可知命题②是错误的；共线向量即平行向量，包括方向相同的或方向相反的非零向量及零向量，故命题③也是错误的；由于相等向量即是长度相等且方向相同的向量，∴命题④正确．答案：C4．(2009·名校模拟)若平面四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是()A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形解析：四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0知其为平行四边形，(AB→－AD→)·AC→＝0即DB→·AC→＝0，该平行四边形的对角线互相垂直，从而知四边形ABCD一定是菱形．点评：向量是高中数学解题的一种工具，有着十分广泛的应用．向量和平面几何结合，是高考常见的一种题型，需要考生多多关注．5．向量a和b的夹角的平分线上的单位向量是()A．a＋bB.a＋b|a＋b|C.a|a|＋b|b|D.|b|a＋|a|b||b|a＋|a|b|答案：D解析：向量a，b方向的单位向量分别为a|a|，b|b|，则a|a|＋b|b|为a和b夹角平分线上的向量，它与|b|a＋|a|b共线，除以它的模||a|b＋|a|b|可得，a，b夹角平分线方向的单位向量为|b|a＋|a|b||b|a＋|a|b|.类型一向量的有关概念解题准备：准确理解平面向量的有关概念，掌握否定命题的方法如举反例等，注意零向量的特殊性．⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为()A．2B．3C．4D．5【典例1】给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；[分析]根据向量的有关概念进行判断．(1)易忽略0的方向任意性而误认为②为真命题；(2)易混淆有向线段与向量而误认为⑥为真命题．[解析]①真命题．②假命题．当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．③真命题．④假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．⑤假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．⑥假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．[答案]C[点评](1)本题涉及的主要内容有向量的概念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共线向量．(2)搞清楚向量的含义．向量不同于我们以前学习过的数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、抽象、分析、比较，逐步理解向量是既有大小又有方向的量．类型二向量的基本运算解题准备：正确运用向量的加、减法则及运算，掌握数乘的概念，灵活应用数形结合思想理解向量线性运算的几何意义．【典例2】如图所示，△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N，设AB→＝a，AC→＝b，用a，b分别表示向量AE→，BC→，DE→，DN→，AM→，AN→.[解析]DE∥BCAD→＝23AB→⇒AE→＝23AC→＝23b，BC→＝AC→－AB→＝b－a.由△ADE∽△ABC，得DE→＝23BC→＝23(b－a)．由AM是△ABC的中线，DE∥BC，得DN→＝12DE→＝13(b－a)，而且AM→＝AB→＋BM→＝a＋12BC→＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．△ADN∽△ABMAD→＝23AB→⇒AN→＝23AM→＝13(a＋b)．[点评]用平面内不共线的两个向量a，b可以表示出该平面内的任何一个向量，这是用向量解题的基本功．在处理这类问题时，除了正确利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应注意如下解题规律：(1)尽可能地把要用a，b表示的向量连同a，b向同一个三角形或平行四边形内转化，再利用三角形法则或平行四边形法则求解．(2)要充分利用平面几何的一些定理、性质，善于发现相等向量、共线向量及相反向量，从而使所求向量与已知向量建立直接联系．(3)要注意方程思想的应用，有时可正难则反，用所求向量来表示已知向量，建立方程后，解方程即可求出未知向量．类型三共线问题解题准备：用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．【典例3】如图，在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于M点，设OA→＝a，OB→＝b.[分析]本题考查向量知识的综合应用．(1)用a，b表示OM→；(2)在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点．设OE→＝pOA→，OF→＝qOB→.求证：17p＋37q＝1.[解析](1)设OM→＝ma＋nb，则AM→＝OM→－OA→＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.AD→＝OD→－OA→＝12b－a＝－a＋12b.∵A，M，D三点共线，∴AM→与AD→共线．∴m－1－1＝n12，∴m＋2n＝1.①而CM→＝OM→－OC→＝ma＋nb－14a＝m－14a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b.∵C，M，B三点共线，∴CM→与CB→共线．∴m－14－14＝n1，∴4m＋n＝1.②联立①②解之，得m＝17，n＝37.∴OM→＝17a＋37b.(2)∵EM→＝OM→－OE→＝17a＋37b－pOA→＝17a＋37b－pa＝17－pa＋37b，EF→＝OF→－OE→＝qOB→－pOA→＝qb－pa＝－pa＋qb，又∵EF→与EM→共线，∴17－p－p＝37q，∴17q－pq＝－37p.∴17q＋37p＝pq.∴17p＋37q＝1.快速解题技法如图，EF过△ABC的重心G.AE→＝λAB→，AF→＝μAC→，则1λ＋1μ＝________.快解：题目的形式暗示结果为一定值，则过重心G的任意直线都符合题意，不妨设EF∥BC，则λ＝μ＝23，故1λ＋1μ＝32＋32＝3.