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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件:第35讲圆的方程
•第三十五讲圆的方程回归课本1.圆的方程(1)标准式:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中r为圆的半径,(a,b)为圆心.(2)一般式:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心为-D2,-E2,半径为12D2+E2-4F.(3)参数式:①圆心在O(0,0),半径为r的圆的参数方程为x=rcosθy=rsinθ(θ为参数).②圆心在O2(a,b),半径为r的圆的参数方程为x=a+rcosθy=b+rsinθ(θ为参数).(4)直径式:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,其中点(x1,y1),(x2,y2)是圆的一条直径的两个端点.•(5)圆系方程:•①过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),该方程不包括圆C2;•②过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l:Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.•2.圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系:•条件①A=C≠0,②B=0是二元二次方程表示圆的必要不充分条件;条件①、②与③D2+E2-4AF>0合起来是二元二次方程表示圆的充要条件.•3.点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:•(1)当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,则点P在圆外.•(2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,则点P在圆上.•(3)当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,则点P在圆内.4.直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系:相离、相切、相交.判断方法:有两种方法(1)代数法――→判别式Δ=b2-4acΔ>0⇔相交Δ=0⇔相切Δ<0⇔相离(2)几何法:圆心到直线的距离为dd<r⇔相交d=r⇔相切d>r⇔相离•5.圆与圆的位置关系•圆与圆有五种关系:相离、外切、相交、内切、内含,两圆圆心分别为O1,O2,则|O1O2|>r1+r2⇔相离,|O1O2|=r1+r2⇔相外切,|O1O2|=|r1-r2|⇔相内切,0<|O1O2|<|r1-r2|⇔内含,|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2⇔相交.•考点陪练•1.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是()•A.-1a1B.0a1•C.a1或a-1D.a=±1•解析:∵点(1,1)在圆内,•∴(1-a)2+(1+a)24,即-1a1.•答案:A•2.圆x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是()•A.相离B.外切•C.相交D.内外•答案:C解析:圆的方程分别化为(x-1)2+y2=1,x2+(y+2)2=4,∵|O1O2|=1+4=5,而r1+r2=3,r2-r1=1,∴r2-r1|O1O2|r1+r2,∴两圆相交.•答案:D3.(2010·广东卷)若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是()A.(x-5)2+y2=5B.(x+5)2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5解析:设圆心O(a,0)(a0),则5=|a|12+22⇒|a|=5,得a=-5,∴圆O的方程为(x+5)2+y2=5.4.(2011·杭州重点中学综合练习)已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a与b的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+12=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=12的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.随α、β的值而定•答案:C解析:cos60°=a·b|a|·|b|=6cosα-β6=12⇒cos(α-β)=12.∴圆心(cosβ,-sinβ)到直线的距离d=|cosαcosβ+sinαsinβ+12|sin2α+cos2α=|cos(α-β)+12|=1>22,∴直线与圆相离.故选C.5.已知圆C:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆C挡住,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.-∞,-433∪433,+∞D.(-∞,-4)∪(4,+∞)•答案:C解析:过A作圆的两条切线y=±33(x+2),若B点在两条切线之外,则其视线不被圆C挡住.∴a433或a-433.•类型一求圆的方程•解题准备:一般地,求圆的方程时,当条件中给出的是圆上若干点的坐标,较适合用一般式,通过解三元方程组求待定系数;当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件,适合用标准式.•【典例1】根据下列条件求圆的方程.•(1)经过坐标原点和点P(1,1),并且圆心在直线2x+3y+1=0上;•(2)已知一圆过P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为,求圆的方程;•(3)已知圆C的圆心在y轴上,截直线l1:3x+4y+3=0所得弦长为8,且与直线l2:3x-4y+37=0相切,求圆C的方程.[解析](1)显然,所求圆的圆心在OP的垂直平分线上,OP的垂直平分线方程为:x2+y2=x-12+y-12即x+y-1=0解方程组x+y-1=02x+3y+1=0,得圆心C的坐标为(4,-3).又圆的半径r=|OC|=5,∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25.(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0①将P、Q点的坐标分别代入①,得:4D-2E+F=-20②D-3E-F=10③令x=0,由①得y2+Ey+F=0④由已知|y1-y2|=43,其中y1、y2是方程④的两根∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48⑤解②③⑤组成的方程组,得D=-2E=0F=-12或D=-10,E=-8,F=4.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.(3)根据题意可设圆C的方程为:x2+(y-b)2=r2则16+|4b+3|52=r2|37-4b|5=r解得b=3r=5∴圆C的方程为x2+(y-3)2=25.•[点评]无论是圆的标准方程或是圆的一般方程,都有三个待定系数,因此求圆的方程,应有三个条件来求.一般地,已知圆心或半径的条件,选用标准式,否则选用一般式.•类型二直线与圆的位置关系•解题准备:在解决直线与圆相切时,要注意圆心与切点的连线与切线垂直这一结论;当直线与圆相交时,要注意圆心与弦的中点的连线垂直于弦这一结论.•【典例2】已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.•(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;•(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及这时直线l的方程;•(3)设直线l与圆C交于A、B两点.若|AB|=,求l的倾斜角;(4)设直线l与圆C交于A、B两点,且定点P(1,1)分弦AB为APPB=12,求此时直线l的方程.[解析](1)证明:将已知直线l化为:y-1=m(x-1),故直线l恒过定点P(1,1).因12+1-12=15,故点P(1,1)在已知圆C内,从而直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)当PC⊥l时,弦最短.kPC=1-11-0=0,故直线l的斜率不存在,从而直线l的方程为x=1.将x=1代入圆C的方程得:y-1=±2,即y=3或y=-1,于是最短弦长为4.(3)圆半径r=5,圆心C到直线l的距离为d=r2-|AB|22=32.另一方面,由点到直线的距离公式,得|-m|m2+-12=32,解得m=±3.故直线的斜率为±3,从而直线l的倾斜角为π3或2π3.(4)设A(x1,y1),B(x2,y2).由APPB=12,得1=x1+12x21+12,变形得x2=3-2x1①另一方面,由x2+y-12=5mx-y+1-m=0,消去y并整理得(m2+1)x2-2m2x+m2-5=0.由根与系数的关系得x1+x2=2m2m2+1②x1x2=m2-5m2+1③由①②③式消去x1,x2,解得m=±1.故所求直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.•类型三圆与圆的位置关系•解题准备:两圆位置由圆心距和两圆半径的和与差来确定.•【典例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+(m2-5)=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+(m2-3)=0,当m为何值时,•(1)两圆外离;(2)两圆外切;(3)两圆相交;(4)两圆内切;(5)两圆内含.•[分析]欲求m的值,只要列出关于m的一个等式或不等式就可以了.因两圆的方程已给定,那么两圆的圆心和半径就可以求出,进而获得含m的式子,问题变成了圆心距与两圆半径之和或差的关系.[解析]把圆C1与圆C2的方程变为(x-m)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-m)2=4.故两圆的半径分别为3和2,圆心距为|C1C2|=m+12+-2-m2=2m2+6m+5.(1)若两圆外离,则|C1C2|>3+2,即2m2+6m+5>5.两边平方整理得m2+3m-10>0,解之得,m>2或m<-5.∴当m>2或m<-5时,两圆外离.(2)若两圆外切,则|C1C2|=3+2,即m2+3m-10=0.解之得,m=2或m=-5.∴当m=2或m=-5时,两圆外切.(3)若两圆相交,则3-2<|C1C2|<3+2,即2m2+6m+5<5,2m2+6m+5>1.解之得,当-5<m<-2或-1<m<2时,两圆相交.(4)若两圆内切,则|C1C2|=3-2,即2m2+6m+5=1.解之得,m=-1或m=-2.∴当m=-1或m=-2时,两圆内切.(5)若两圆内含,则0<|C1C2|<3-2,即2m2+6m+5<1,2m2+6m+5>0,解之得,-2<m<-1.∴当-2<m<-1时,两圆内含.•类型四圆的参数方程•解题准备:圆的参数方程,其实质是三角换元.当涉及圆上的点有关最值或取值范围问题时,可设圆上的点参数,这样可把代数问题转化为三角问题,然后利用三角知识来处理.【典例4】(1)把圆的参数方程x=4+5cosαy=-3+5sinα(α为参数)化为普通方程;(2)若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0,求x-y的最大值.[解析](1)由x=4+5cosα,y=-3+5sinα,得x-4=5cosαy+3=5sinα,∴(x-4)2+(y+3)2=25cos2α+25sin2α=25.故所求圆的普通方程为(x-4)2+(y+3)2=25.(2)将圆x2+y2-2x+4y=0变形为(x-1)2+(y+2)2=5,∴圆的参数方程为x=1+5cosθ,y=-2+5sinθ,将其代入x-y得x-y=(1+5cosθ)-(-2+5sinθ)=3+5(cosθ-sinθ)=3+10cosθ+π4≤3+10,∴x-y的最大值为3+10.•[点评](1)将圆的参数方程化为普通方程,只需利用同角的三角函数的平方关系将参数θ消去即可.要注意的是,消去θ后的相应的取值范围既不能扩大也不能缩小.•(2)利用圆的参数方程可使有些问题解决起来比较简捷.快速解题妙用直线和圆的位置关系解题技法对于集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|xa+yb=1(a0,b0)},如果A∩B=∅,则a2+b2与ab的大小关系是________.快解:集合A表示的图形是圆x2+y2=1;集合B表示的图形是直线bx+ay-ab=0(a0,b0).由A∩B=∅可知,直线和圆没有公共点,所以圆心到直线的距离大于圆的半径.从而有|-ab|a2+b21,即a2+b2a
本文标题:2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件:第35讲圆的方程
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