2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第37讲双曲线

•第三十七讲双曲线•回归课本•1.双曲线的定义•第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜)的点的轨迹叫做双曲线．•第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离的比是常数e(e＞1)的动点C的轨迹叫做双曲线．•2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距F1F2＝2c(c2＝a2＋b2)范围x≥a，y∈Ry≥a，x∈R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴实轴长2a，虚轴长2b性质离心率e＝ca(e＞1)准线方程x＝±a2cy＝±a2c性质渐近线xa±yb＝0或y＝±baxxb±ya＝0或y＝±abx性质焦半径•答案：A考点陪练1.已知双曲线的离心率是2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝1解析：由题知c＝4，且ca＝2，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，∴双曲线方程为x24－y212＝1.•答案：C2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线为y＝kx(k0)，离心率e＝5k，则双曲线方程为()A.x2a2－y24a2＝1B.x2a2－y25a2＝1C.x24b2－y2b2＝1D.x25b2－y2b2＝1解析：双曲线的渐近线方程可表示为y＝±bax，由已知可得k＝ba.又离心率e＝1＋ba2＝5k，所以k＝12.即ba＝12，故a＝2b.3．已知k为实数，若双曲线x2k－2010＋y22－|k|＝1的焦距与k的取值无关，则k的取值范围为()A．(－2,0]B．(－2,0)∪(0,2)C．[0,2)D．[－1,0)∪(0,2]•答案：A解析：因为焦距与k的取值无关，所以c2为定值，若k－201002－|k|0，解之得k2010，则方程可化为x2k－2010－y2k－2＝1，而c2＝k－2＋k－2010不为定值，所以此时不成立，若k－201002－|k|0，解之得－2k2，则方程可化为y22－|k|－x22010－k＝1，要使c2＝2－|k|＋2010－k为定值，只需k≤0，所以k的取值范围为(－2,0]，故选A.•答案：A4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为()A.5B.52C.3D．2解析：设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1，其中一条渐近线方程为y＝abx，∴ab＝12＝ac2－a2，即c2－a2a2＝e2－1＝4，∴e＝5.5．双曲线x24－y2＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，△F1PF2的面积为3，则PF→1·PF→2＝()A．2B.3C．－2D．－3•答案：A解析：∵S△F1PF2＝12|PF1→|·|PF2|·sin∠F1PF2，再由双曲线中焦三角形面积公式S△F1PF2＝b2cot∠F1PF22，知∠F1PF2＝60°，∴|PF1→|·|PF2→|＝23sin∠F1PF2＝4，∴PF1→·PF2→＝|PF1→|·|PF→2|cos∠F1PF2＝4×12＝2.•类型一双曲线定义的应用•解题准备：问题涉及曲线上的点到两焦点距离时，应考虑用双曲线的第一定义，若问题涉及曲线上的点到焦点和对应准线的距离时，应考虑用第二定义．【典例1】已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e＞1＋2，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？[解析]设在左支上存在P点，使|PF1|2＝|PF2|·d，由双曲线的第二定义知|PF1|d＝|PF2||PF1|＝e，即|PF2|＝e|PF1|，①再由双曲线的第一定义，得|PF2|－|PF1|＝2a，②由式①②，解得|PF1|＝2ae－1，|PF2|＝2aee－1.因在△PF1F2中有|PF1|＋|PF2|≥2c，∴2ae－1＋2aee－1≥2c.③利用e＝ca，从式③得e2－2e－1≤0，解得1－2≤e≤1＋2.∵e＞1，∴1＜e≤1＋2与已知e＞1＋2矛盾．即符合条件的点P不存在．•分析：首先利用正弦定理把三角关系转成三边关系．利用双曲线的定义可判断A点轨迹的形状，然后还要结合实际问题，确定曲线的范围．探究1：△ABC中，A、B、C所对三边为a、b、c，B(－1,0)，C(1,0)，求满足sinC－sinB＝12sinA时，顶点A的轨迹，并画出图形．解析：∵sinC－sinB＝12sinA，∴c2R－b2R＝12·a2R，即：c－b＝12a＝12×2＝1，亦即：|AB|－|AC|＝1，∴动点A(x，y)符合双曲线的定义且知双曲线中的2a＝1,2c＝2，∴a＝12，b2＝c2－a2＝34，∴点A的轨迹方程为x214－y234＝1x12，由cb即是|AB||AC|，可知点A的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为1，虚轴长为3的双曲线的右支，还需除去12，0点．[误区指津]题目要求的是“顶点A的轨迹”，必须指明轨迹是什么及轨迹的主要特征(如中心位置、焦点坐标、实轴、虚轴长度等)，有很多同学只求出x214－y234＝1x12便结束了，没有指明轨迹的情况．点评：利用正弦定理把条件sinC－sinB＝12sinA转化为|AB|－|AC|＝1，正符合双曲线的定义，但与定义又有点差别(缺少差的绝对值条件)，且由实际，A、B、C不能共线，故又去掉12，0点．类型二求双曲线的标准方程解题准备：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．【典例2】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0.(1)若双曲线经过P(6，2)，求双曲线方程；(2)若双曲线的焦距是213，求双曲线方程．[解析]由双曲线的渐近线方程y＝±23x可设双曲线方程为：x29－y24＝λ(λ≠0)．(1)∵双曲线过点P(6，2)，∴69－44＝λ，得λ＝－13，故所求双曲线方程为34y2－13x2＝1.(2)若λ＞0，则a2＝9λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝13λ.由题设2c＝213，∴λ＝1，故所求双曲线方程为x29－y24＝1.若λ＜0，则a2＝－4λ，b2＝－9λ，c2＝a2＋b2＝－13λ由2c＝213，∴λ＝－1，所求双曲线方程为y24－x29＝1，故所求双曲线方程为y29－x24＝1或y24－x29＝1.探究2：根据下列条件，求双曲线方程．(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解析：解法一：(1)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1.解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意易求c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.解法二：(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，点(－3，23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1，将点(32，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为x212－y28＝1.•2．对称性：双曲线关于两条坐标轴和原点都对称；•3．顶点：双曲线和它的对称轴的两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)叫做双曲线的顶点；类型三双曲线几何性质的应用解题准备：以焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)为例，有如下简单几何性质：1．范围：双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内，即x≥a或x≤－a，y∈R；4．准线：双曲线的两条准线为x＝±a2c；5．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫双曲线的离心率e＝ca，e1.离心率越小，双曲线开口越扁狭；离心率越大，开口越开阔．【典例3】双曲线x2a2－y2b2＝1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥45c，求双曲线的离心率e的取值范围．[解析]直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0，由点到直线的距离公式，且a1，得点(1,0)到直线l的距离d1＝ba－1a2＋b2.同理可得点(－1,0)到直线l的距离d2＝ba＋1a2＋b2.∴s＝d1＋d2＝2aba2＋b2＝2abc.又s≥45c，得2abc≥45c，即5a·c2－a2≥2c2，于是得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解得e2∈[54，5]．又e1，∴e的取值范围是e∈[52，5]．探究3：已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，双曲线斜率大于零的渐近线交双曲线的右准线于P点，F(c,0)为右焦点．(1)求证：直线PF与渐近线l垂直；(2)已知|PF|＝3，若|PF|的长是焦点F到直线l的距离，求双曲线方程；(3)延长FP交左准线于M，交双曲线左支于N，使M为PN的中点，求双曲线的离心率．解析：(1)证明：右准线为x＝a2c，由对称性不妨设渐近线l为y＝bax，则Pa2c，abc，又F(c,0)，∴kPF＝abc－0a2c－c＝－ab.又∵kl＝ba，∴kPF·kl＝－ab·ba＝－1，∴PF⊥l.(2)∵|PF|的长即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距离，∴|bc|a2＋b2＝3，即b＝3.又e＝ca＝54，∴a2＋b2a2＝2516，∴a＝4.故双曲线方程为x216－y29＝1.(3)PF的方程为y＝－ab(x－c)，又x＝－a2c，∴M－a2c，aa2＋c2bc.•点评：熟悉双曲线的几何性质是解答本题的关键．又∵M是PN的中点，∴N－3a2c，a3a2＋c2bc.∵N在双曲线上，∴9a2c2－a23a2＋c22b4c2＝1，即9e2－1e23＋e2e2－12＝1，令t＝e2，则t2－10t＋25＝0，∴t＝5，即e＝5.•快速解题•技法过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，求以点P为中点的线段AB所在直线的方程．•快解：设A(x，y)，由题意得B(16－x,2－y)，由于点A、B在双曲线上，代入双曲线方程得•x2－4y2＝4①•(16－x)2－4(2－y)2＝4②•①－②整理得2x－y－15＝0.此即所求直线方程．