2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第38讲抛物线

•第三十八讲抛物线•回归课本•1.抛物线的定义•平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．•2．抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R准线方程x＝－p2x＝p2焦点Fp2，0F－p2，0性质对称轴关于x轴对称顶点O(0,0)离心率e＝1焦半径|MF|＝x0＋p2|MF|＝p2－x0标准方程x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形范围y≥0，x∈Ry≤0，x∈R准线方程y＝－p2y＝p2性质焦点F0，p2F0，－p2对称轴关于y轴对称顶点O(0,0)离心率e＝1性质焦半径|MF|＝p2＋y0|MF|＝p2－y0考点陪练1.过抛物线y＝14x2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M、N，则直线MN过定点()A．(0,1)B．(1,0)C．(0，－1)D．(－1,0)•答案：A解析：特值法，我们不妨取抛物线准线与y轴交点(0，－1)来研究一下，设切点为(x0，y0)，根据抛物线的导数为y′＝x2，可得切线的斜率k＝x02，所以切线方程为y＋1＝x02x，由于切点在切线和抛物线上，所以可得方程组y0＝x022－1y0＝x024，可得x0＝±2，y0＝1，对比选项，直线MN过定点(0,1)，故选A.2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.92解析：如图，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－12的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.•答案：A因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.•答案：D3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则OA→·OB→的值是()A．12B．－12C．3D．－3解析：设AB方程为x＝my＋1，A、B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)将AB方程代入y2＝4x得：y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4.又OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝y124·y224＋y1y2＝1616－4＝－3.•4．过(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有1个公共点，这样的直线有()•A．1条B．2条•C．3条D．4条•解析：过点(0,1)可作抛物线y2＝4x的2条切线，还可作1条与对称轴(x轴)平行的直线，这3条直线与抛物线都仅有1个公共点．•答案：C•答案：D5．从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|＝5，则△MPF的面积为()A．56B.2543C．20D．10解析：由抛物线的定义知|PF|＝|PM|＝5，则P到y轴距离为4.即P(4,4)，所以△MPF的面积为12×5×4＝10.故选D.类型一抛物线定义的应用解题准备：利用抛物线定义中到定点的距离与定直线的距离相等这一重要性质可以求抛物线的方程或进行有关计算．【典例1】(1)在抛物线y2＝4x上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)，F(1,0)，求M点的坐标及此时的最小值；(2)已知抛物线y2＝2x和定点A3，103，抛物线上有动点P，P到点A的距离为d1，P到抛物线准线的距离为d2，求d1＋d2的最小值及此时P点的坐标．•[分析]要求最小值问题，可考虑抛物线的定义，通过定义转化为“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”这一结论．(1)如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线的准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4(当且仅当点M在M1的位置时)，此时M点的坐标为(1,2)，最小值为4.[解析](2)如图，点A3，103在抛物线y2＝2x的外部，由抛物线的定义可知，d1＋d2＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝256(其中F为抛物线的焦点)．此时P点的坐标为(2,2)．[点评]熟练掌握和灵活运用定义是解题的关键．利用抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距离相互转化．例如若点P0(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p0)上的任一点，则该点到抛物线的焦点F的距离|PF|＝x0＋p2(焦半径公式)，这一公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便．在求过焦点的弦长时，经常将其转化为两端点到准线的距离之和，再用韦达定理求解，有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离进行求解．•探究1：AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数且a≥1)，求弦AB的中点M到x轴的最近距离．解析：设点A，M，B的纵坐标分别为y1，y2，y3，A，M，B三点在准线上的射影分别为A′，M′，B′.F为抛物线的焦点．由抛物线的定义，得|AF|＝|AA′|＝y1＋14，|BF|＝|BB′|＝y3＋14.∴y1＝|AF|－14，y3＝|BF|－14.又M是线段AB的中点，∴y2＝12(y1＋y3)＝12|AF|＋|BF|－12≥12|AB|－12＝14(2a－1)．等号在AB过焦点F时成立．∵a≥1，即|AB|≥通径的长．这样的弦AB一定存在，故等号可取到．即当定长为a的动弦AB过焦点F时，中点M与x轴的距离最近，最近距离为14(2a－1)．•点评：此题的解法很多，以上述解法最为简捷，可见熟悉圆锥曲线的定义，在解题中运用定义，并注意挖掘题目隐含的几何性质，可使解题过程简明快捷，少走弯路．•在高考中对抛物线定义和标准方程的考查涉及到许多方面，常常运用定义导出方程、求轨迹、最值等，从正、逆两个方向考查其几何性质，还常常与函数单调性、对称性、应用性问题结合起来考查．题型以选择、填空题为主，重在考查基础知识，少数是中等题或难题．•类型二求抛物线的方程•解题准备：待定系数法是求抛物线标准方程的主要方法，利用抛物线的定义及图形的性质求标准方程中待定的一次项系数，往往可简化过程．•【典例2】求下列各抛物线的方程：•(1)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点M(－2，－4)；•(2)顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点Q(m，－3)到焦点的距离等于5.•[点评]这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去另一解．[解析](1)设抛物线为y2＝mx或x2＝ny，则(－4)2＝m(－2)⇒m＝－8或(－2)2＝n(－4)⇒n＝－1.∴所求的抛物线方程为y2＝－8x或x2＝－y.(2)依题意，抛物线开口向下，故设其方程为x2＝－2py.则准线方程为y＝p2，又设焦点为F，则|QF|＝p2－yQ，即p2－(－3)＝5⇒p＝4.故抛物线方程为x2＝－8y.探究2：河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露在水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船不能通航？•解析：如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为x2＝－2py(p0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝1.6，∴x2＝－3.2y，船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－3.2yA，得yA＝－54，又知船面露出水面上部分为34米，∴h＝|yA|＋34＝2米．即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船开始不能通航．•类型三抛物线几何性质的应用•解题准备：抛物线的每一条过焦点的弦被焦点分成两段焦半径，由焦半径公式可推出抛物线的焦点弦长公式：设过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦为AB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|AF1|＋|AF2|＝x1＋x2＋p.特别地，当弦AB与抛物线的对称轴垂直时，这条弦称为通径，其长度为2p.【典例3】已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证：(1)y1·y2＝－p2，x1·x2＝p24；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为直线AB与x轴的夹角)；(3)S△AOB＝p22sinθ；(4)1|AF|＋1|BF|为定值；(5)以AB为直径的圆与抛物线准线相切．•[分析]考查抛物线过焦点的弦的性质．•将抛物线的焦点弦的方程设出，代入抛物线方程，利用韦达定理等解决问题．[证明](1)∵y2＝2px(p＞0)的焦点Fp2，0，设直线方程为y＝kx－p2(k≠0)．由y＝kx－p2y2＝2px消去x得ky2－2py－kp2＝0①∴y1·y2＝－p2，x1·x2＝y1·y224p2＝p24.当k不存在时，直线方程为x＝p2，这时y1＝p，y2＝－p，则y1·y2＝－p2，x1·x2＝p24.因此，总有y1·y2＝－p2，x1·x2＝p24成立．(2)由抛物线定义：|AF|等于点A到准线x＝－p2的距离．∴|AF|＝x1＋p2，同理：|BF|＝x2＋p2.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.②又∵y＝kx－p2∴x＝1ky＋p2.∴x1＋x2＝1k(y1＋y2)＋p由方程①知：y1＋y2＝2pk.∴x1＋x2＝2pk2＋p③将③代入②得|AB|＝2pk2＋2p＝2p1＋1k2＝2p1＋1tan2θ＝2psin2θ.当AB斜率不存在时，此时θ＝π2，把x＝p2代入y2＝2px得Ap2，p，Bp2，－p，∴AB＝2p＝2psin2π2，综上|AB|＝2psin2θ.(3)如下图，S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝12|OF|·|AF|·sin(π－θ)＋12|OF|·|BF|·sinθ＝12·|OF|·sinθ(|AF|＋|BF|)＝12·|OF|·|AB|·sinθ＝12·p2·2psin2θ·sinθ＝p22sinθ.(4)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24，又∵x1·x2＝p24，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常数．(5)设AB的中点为M(x0，y0)分别过A、M、B作准线的垂线，垂足为C、N、D，则|MN|＝12(|AC|＋|BD|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|.∴以AB为直径的圆与准线相切．•探究3：如图，AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l，N为垂足．求证：(1)AN⊥BN；(2)FN⊥AB；(3)若MN交抛物线于Q，则Q平分MN；(4)1|FA|＋1|FB|＝2p.•分析：各小题可利用抛物线的定义并结合平面几何知识来证明，当然也可以考虑代数方法．证明：(1)作AC⊥l，垂足为C，作BD⊥l，垂足为D，在直角梯形ABDC中，∵|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，∴|MN|＝12(|AC|＋|BD|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|，由平面几何知识可知△ANB是直角三角形，即AN⊥BN.•(2)连结NF，∵|AM|＝|NM|，∴∠MAN＝∠MNA，•∵AC∥MN，∴∠CAN＝∠MNA，∴∠MAN＝∠CAN.•在△ACN和△AFN中，|AN|＝|AN|，|AC|＝|AF|，•且∠CAN＝∠FAN，∴△ACN≌△AFN，•∴∠NFA＝∠NCA＝90°，即FN⊥AB.•(3)在Rt△MNF中，连结QF，由抛物线的定义及(2)的结论得•|QN|＝|QF|⇒∠QNF＝∠QFN，•且∠QFN＝90°－∠QFM，∠QMF＝90°－∠QNF，•∴∠QFM＝∠QMF，∴|QF|＝|QM|，•∴|QN