2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第60讲函数极限与函数的连续性

•第六十讲函数极限与函数的连续性回归课本1.当x→∞时，函数f(x)的极限当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作limx→＋∞f(x)＝a，也可记作当x→＋∞时，f(x)→a.当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作limx→－∞f(x)＝a，也可记作当x→－∞时，f(x)→a.如果limx→＋∞f(x)＝a且limx→－∞f(x)＝a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作limx→∞f(x)＝a，也记作当x→∞，f(x)→a.对于常数f(x)＝C(x∈R)，也有limx→∞C＝C.2．当x→x0时，函数f(x)的极限当自变量x无限趋近于常数x0(但x≠x0)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限是a，记作limx→x0f(x)＝a，也可记作当x→x0时，f(x)→a，limx→x0f(x)也叫做函数f(x)在点x＝x0处的极限．3．函数的左、右极限如果当x从点x＝x0左侧(即xx0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作limx→x0－f(x)＝a.如果当x从点x＝x0右侧(即xx0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a时，就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作limx→x0＋f(x)＝a.且limn→x0－f(x)＝limx→x0＋f(x)＝a⇔limx→x0f(x)＝a.4．函数极限的四则运算法则如果limx→x0f(x)＝a，limx→x0g(x)＝b，那么limx→x0[f(x)±g(x)]＝a±b；limx→x0[f(x)·g(x)]＝a·b；limx→x0fxgx＝ab(b≠0)．5．函数连续性的概念(1)如果函数f(x)在点x＝x0处及其附近有定义，而且limx→x0f(x)＝f(x0)，就说函数f(x)在点x0处连续．(2)如果函数f(x)在点x＝x0处及其右侧(或左侧)有定义，而且limx→x0＋f(x)＝f(x0)[或limx→x0－f(x)＝f(x0)]，就说函数f(x)在点x0处右连续(或左连续)．(3)若f(x)在(a，b)内每一点都连续，且在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)在闭区间[a，b]上连续．6．连续函数的性质(1)最大值、最小值定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值．(2)如果函数f(x)，g(x)在点x＝x0处连续，那么f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，fxgx(g(x)≠0)在点x＝x0处都连续．•考点陪练•1.下列命题正确的是()•A．函数极限的值是函数值•B．函数在x＝x0处的左、右极限都存在，则函数在x＝x0处的极限存在•C．函数在x＝x0处无定义，则函数在x＝x0的极限不存在•D．函数在x＝x0的极限存在，函数在x＝x0处可能无定义•答案：D解析：函数在x＝x0的极限存在，其意义为limx→x0－f(x)＝x→x0＋f(x)．此极限值与f(x0)没有关系，即f(x)在x＝x0处可有定义也可无定义．•答案：A2．已知m∈N*，a，b∈R，若limx→01＋xm＋ax＝b，则a·b＝()A．－mB．mC．－1D．1解析：由题意知limx→01＋Cm1x＋Cm2x2＋…＋Cmmxm＋ax＝b.∴a＋1＝0，b＝Cm1＝m，∴a·b＝－m.•答案：A3.limx→1x2－3x＋2x2－1等于()A．－12B.12C．1D．0解析：limx→1x2－3x＋2x2－1＝limx→1x－2x－1x＋1x－1＝limx→1x－2x＋1＝－12.•答案：B4．设正数a，b满足limx→2(x2＋ax－b)＝4，则limn→∞an＋1＋abn－1an－1＋2bn＝()A．0B.14C.12D．1解析：由条件可得4＋2a－b＝4⇒ab＝12，limn→∞an＋1＋abn－1an－1＋2bn＝limn→∞a2abn－1＋aabn－1＋2b＝a2b＝14.故选B.5．在x＝2处连续，则a＝________.解析：∵x2时，f(x)＝3x＋2x2－4－2x－2＝x－2x2－4＝1x＋2，且f(x)在x＝2处连续，∴x＝2时，f(x)＝12＋2＝14，∴a＝14.答案：14•类型一x→∞型函数的极限•解题准备：在数列极限中n→∞.只表示n→＋∞，在函数极限中，x→∞表示x→＋∞和x→－∞两种变化趋势，故在研究或讨论“x→∞时f(x)的极限”时需分别讨论x→＋∞和x→－∞两种变化趋势下的f(x)的极限．【典例1】求下列函数的极限：(1)limx→∞2x2＋x－43x3－x2＋1；(2)limx→∞(x2＋1－x2－1)；(3)limx→＋∞4x4x－1；(4)limx→＋∞4x·2x＋1x·3x－1.[解析](1)limx→∞2x2＋x－43x3－x2＋1＝limx→∞2x2x3＋xx3－4x33x3x3－x2x3＋1x3＝0＋0－03－0＋0＝0.(2)limx→∞(x2＋1－x2－1)＝limx→∞x2＋1－x2－1x2＋1＋x2－1x2＋1＋x2－1＝limx→∞2x2＋1＋x2－1＝0.(3)limx→＋∞4x4x－1＝limx→＋∞11－14x＝11－limx→＋∞14x＝1.(4)limx→＋∞4x·2x＋1x·3x－1＝limx→＋∞4×23x＋1x·3x1－1x·3x＝limx→＋∞[4×23x＋1x·3x]limx→＋∞1－1x·3x＝4×0＋01－0＝0.类型二x→x0型函数的极限解题准备：对于∞－∞，∞∞，00等不同形式的极限问题主要涉及的解题方法有：“消因子法”，即分解出(x－a)型因式，消去公因式；“因式有理化”，即题目中有无理式，先乘以有理化因式后，消去因式．【典例2】求下列各式的极限：(1)limx→24x2－4－1x－2；(2)limx→0x|x|；(3)limx→π2cosxcosx2－sinx2.[解析](1)原式＝limx→24－x＋2x2－4＝limx→2－1x＋2＝－14.(2)∵limx→0＋x|x|＝1，而limx→0－x|x|＝－1，limx→0＋x|x|≠limx→0－x|x|∴limx→0x|x|不存在．(3)原式＝limx→π2cos2x2－sin2x2cosx2－sinx2＝limx→π2cosx2＋sinx2＝2.类型三函数的连续性解题准备：函数y＝f(x)在点x0处连续的充要条件是limx→x0f(x)＝f(x0)，因此，判断一个函数在点x＝x0处连续，一般分三步：①判断f(x)在点x＝x0处是否有定义；②判断limx→x0f(x)是否存在；③判断limx→x0f(x)与f(x0)是否相等，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值．【典例3】问a，b为何值时，f(x)在定义区间内连续？[解析]limx→0－f(x)＝limx→0－(x＋a)＝a＝f(0)．limx→0＋f(x)＝limx→0＋(x2＋1)＝1，∴a＝1时，f(x)在x＝0处连续．limx→1－f(x)＝limx→1－(x2＋1)＝2＝f(1)，limx→1＋f(x)＝limx→1＋bx＝b.∴b＝2时，函数f(x)在x＝1处连续，而初等函数在其定义域内均为连续函数，∴当a＝1，b＝2时，f(x)在(－∞，＋∞)内连续．探究：设f(x)＝x－10x≤1，2－x1＜x≤3.(1)求f(x)在x＝1处的左、右极限，并判断在点x＝1处f(x)的极限是否存在；(2)判断f(x)在x＝1处是否连续；(3)求函数f(x)的连续区间；•分析：判断函数在某点处的极限是否存在，可判断函数在该点处的左右极限是否存在且相等，判断函数在某点处是否连续，需要判断函数在该点处是否有定义，极限是否存在，或极限值是否为函数在该点处的函数值，若是连续函数的极限，即是函数在该点处的函数值．解析：(1)limx→1－f(x)＝limx→1－(x－1)＝0，limx→1＋f(x)＝limx→1＋(2－x)＝1，由于limx→1－f(x)≠limx→1＋f(x)，故limx→1f(x)不存在．(2)由上式可知，函数f(x)在x＝1处极限不存在，所以函数f(x)在x＝1处不连续．•点评：注意函数在某点处的极限存在与函数在该点处连续之间的关系，若函数在某点处连续，则必须保证函数在该点处有意义，且在该点处极限存在且极限值为函数在该点处的函数值．(3)由函数的解析式可知函数的连续区间为(0,1)，(1,3]．(4)由连续函数的定义可求得＝f12＝－12，limx→2f(x)＝f(2)＝0.快速解题技法求limx→3x＋1－2x－3.快解：设x＋1＝t，则x＝t2－1.原式＝limt→2t－2t2－1－3＝limt→2t－2t2－4＝limt→2t－2t＋2t－2＝limt→21t＋2＝14.•点评：把无理式部分设为新元，再平方求出x等于t的式子，掌握这一操作过程．