第九讲 二重积分的概念与计算

二、利用直角坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束第九讲二重积分的概念与计算一、二重积分的概念与性质定义设),(yxf在有界闭区域D上有定义，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，,2，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii，作乘积),(iifi，),,2,1(ni，并作和iiniif),(1，1.二重积分的定义一、二重积分的概念与性质积分区域如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，记为Ddyxf),(，即Ddyxf),(iiniif),(lim10.积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.注：(2)当),(yxf在闭区域上连续时，或分片连续且有界，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.(3)几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值．).(),(),()4(DRfDyxfdyxfD记上可积，在存在，称若xyoD(5)面积元素为ddxdy二重积分可写为(,)(,)DDfxydfxydxdyDdyxfv),()6(Ddyxm),(性质１当为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf性质２Ddyxgyxf)],(),([.),(),(DDdyxgdyxf（二重积分与定积分有类似的性质）2.二重积分的性质性质３对区域具有可加性.),(),(),(21DDDdyxfdyxfdyxf性质４若为D的面积，.1DDdd性质５若在D上),,(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf推论(1).),(),(DDdyxfdyxf)(21DDD则有设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质６DMdyxfm),(（二重积分估值不等式）设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得性质７),(),(fdyxfD（二重积分中值定理）二重积分定义为积分和式的极限．如果直接用二重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚至是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义—曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法.这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积分，即二次积分.二、利用直角坐标计算二重积分12:,()()Daxbxyx设函数在区域上连续,且当时，如果区域是由直线，与曲线所围成(称为型区域),如下图,即(,)zfxy(,)xyD(,)0fxyDxaxb12(),()yxyxDXxyoba1()yx2()yxxxyoba1()yx2()yxxxoba1()yxxy2()yx型区域的特点:在内任取一点过作平行于轴的直线,则该直线与的边界曲线的交点不多于两个X(,)ab,xyDx为确定曲顶柱体的体积,可在处用垂直轴的平面去截曲顶柱体,设其截面面积为x()AxxD(,)Dfxyd(,)zfxy是区域上以曲面为顶的曲顶柱体的体积.由二重积分的几何意义知:xzyoabx()Ax(,)()baDfxydAxdx从而()Ax其中是垂直于轴的平面与曲顶柱体相交部分的面积.即是一个曲边梯形的面积.x()Ax()baVAxdx由定积分的应用可知：已知平行截面面积的立体的体积公式为xzyoabx()Ax从而21()()(,)(,)(,)bxaxDDfxydfxydxdyfxydydx(1)x(,)zfxyyy1()x2()x()Ax21()()()(,)xxAxfxydy对固定的,此曲边梯形的曲边是由方程确定的关于的一元函数的曲线,而底边沿着方向从变到.故其面积为xzyoabx()Ax2()yx1()yx通常写成21()()(,)(,)bxaxDfxydxdydxfxydy(2)这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。第一次计算定积分21()()()(,)xxAxfxydy时，看作是常量，是积分变量；第二次积分时，是积分变量.xyx这是先对，后对的两次积分(适合于型区域).yxX12:()()Dcydyxy类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于轴的平面去截曲顶柱体,此时D为y21()()(,)(,)dycyDfxydxdydyfxydx这是先对，后对的两次积分.xycdyyox2()xy1()xycdyyox2()xy1()xy如果去掉以上结论中关于的限制，则上述结论仍是成立的.(,)0,(,)zfxyxyD几点说明：:,Daxbcyd(,)(,)(,)bddbaccaDfxydxdydxfxydydyfxydx则（ⅰ）若区域D是一个矩形，即D为:,Daxbcyd（ⅱ）若函数可积，且D为（ⅲ）上面所讨论的积分区域是型或型区域，即平行于轴或轴的直线与区域边界曲线的交点不多于两点.若不满足这个条件,可将分块.再应用积分的分域性质来计算.yxXYDDDD1D2D3Dx0y12(,)()()fxyfxfy且则12(,)()()bdacDfxydxdyfxdxfydy由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的是如何根据区域去确定两次积分的上、下限.建议读者先将区域的图形画出，再写出区域上的点的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限.DDDxyoba1()yx2()yxx定限法则:就型区域而言X后积先定限,域内穿射线,先交为下限,后交为上限.如右图:22,11.Dxy143DxydxdyD例1计算二重积分,其中为矩形：21212221122222114343()(2)462(2)84Dxyxydxdydxdyxyyxydxdxxx解1先积再积yx解2先积再积yx2121221212111111()43438342(4)(4)833Dxyxyxxydxdydydxxdyyydyy例2计算二重积分,其中区域为矩形：xyDedxdyD:01,12Dxyxyxyeee1212010122()()(1)()(1)xyxyxyDedxdyedxedyeeeeeee解因为,所以或先积再积12121010121211003222()()()()(1)xyxyxyDxxxxedxdydxedyedxeedxeeeeeeeeyx例3计算二重积分.其中积分区域分别如下图所示：⑴三角形；⑵四分之一椭圆。DxydxdyD2(1)(1)0000()2xxbabaaaDxyxydxdydxxydydx:0,0(1)xDxayba解⑴因为下图所示的三角形区域的斜边方程是所以可表示为1xyabDayoxb23422202121()223424axxxbabaa2232220012(1)()22aabxxxxdxbxdxaaa⑵前图所示的四分之一椭圆区域可表示为22:0,01xDxaybaayoxb因此22100xabaDxydxdydxxydy24222211()2248aababa22201(1)2axbxdxa242021()224axxba例4计算二重积分,其中是由三条线所围成的区域.(6)DxydxdyD,5,1yxyxx5yxyx1x解易知积分区域可表为:01,5Dxxyx1207676.3xdx于是(6)Dxydxdy1250(3)xxxyydx150(6)xxdxxydy例5.计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则机动目录上页下页返回结束例6.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.oxyDxxy解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx20dsinxxx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例7.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822yx2D22yxo21D221xy222280:22xxyD21DDD将:D视为Y–型区域,则282yxy20yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动目录上页下页返回结束例8.计算其中D由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动目录上页下页返回结束积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换cos,sinxryr最为常用.下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二重积分.在二重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆域,被积函数为形式,利用极坐标变换来计算二重积分会十分方便.22(),(),()yxfxyffxy二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区k),,2,1(nkk在k),,(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线=常数,分划区域D为krkrkkkr机动目录上页下页返回结束域的面积kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd机动目录上页下页返回结束下面考虑如何把极坐标系下的二重积分化为二次积分.分三种情况来讨论:Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d1)极点在D之外2)极点在D的边界上0():,rDDrrrrfdd)sin,cos(()0(cos,sin)dfrrrrd3)设极点D之内20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos