第三节拉普拉斯逆变换

1第三节Laplace逆变换一、反演积分公式——Laplace逆变换公式二、求Laplace逆变换的方法2第三节Laplace逆变换一、反演积分公式——Laplace逆变换公式1.公式推导函数的Laplace变换)(tf)()(jFsF就是函数的Fourier变换，ttutfe)()(.d])()([)()(eettutfjFsFtjt即.d)(21)()(eetjtjFπtutf在的连续点t处，有)(tf(2)根据Fourier逆变换，(1)由Laplace变换与Fourier变换的关系可知，推导3第三节Laplace逆变换一、反演积分公式——Laplace逆变换公式1.公式推导在的连续点t处，有)(tf.d)(21)()(eetjtjFπtutf(2)根据Fourier逆变换，推导(3)将上式两边同乘并由有,et,js.d)(21)()(ejjtsssFjπtutf.)0(t即得,d)(21)(ejjtsssFjπtf4第三节Laplace逆变换称(B)式为反演积分公式。定义该直线处于的存在域中。,Res)(sF注反演积分公式中的积分路径是s平面上的一条直线cjj一、反演积分公式——Laplace逆变换公式2.反演积分公式根据上面的推导，得到如下的Laplace变换对:5第三节Laplace逆变换二、求Laplace逆变换的方法1.留数法利用留数计算反演积分。则设函数除在半平面内有有限个孤立奇点csRe)(sF定理且当时，s,0)(sFnsss,,21外是解析的，,],)([Rese1ktsnkssF.)0(tjjtsssFjπtfd)(21)(e证明(略)tse(进入证明?)6第三节Laplace逆变换二、求Laplace逆变换的方法2.查表法此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。利用Laplace变换的性质，并根据一些已知函数的Laplace变换来求逆变换。大多数情况下，象函数常常为(真)分式形式：)(sF,)()()(sQsPsF其中，P(s)和Q(s)是实系数多项式。由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法很容易得到象原函数。(真分式的部分分式分解)7第三节Laplace逆变换二、求Laplace逆变换的方法2.查表法几个常用的Laplace逆变换的性质8第三节Laplace逆变换二、求Laplace逆变换的方法2.查表法几个常用函数的Laplace逆变换9第三节Laplace逆变换)2()1(15)(ssssF.21sBsA(1)(单根)解方法一利用查表法求解有(2)由][11as,eta])([)(1sFtf.322eett]21[3]11[211ss2310第三节Laplace逆变换解方法二利用留数法求解.322eett(1)为的一阶极点，2,121ss)(sF1ee215]1,)([ResststssssF,2et2ee115]2,)([ResststssssF.32et(2)]2,)([Res]1,)([Res)(eetstssFsFtf11第三节Laplace逆变换.)1(122sCsBsA(重根)2)1()2(1)(sssF(1)解方法一利用查表法求解])([)(1sFtf.eee2tttt111有(2)由][11as,eta][21)(1as,etat12第三节Laplace逆变换解方法二利用留数法求解(1)分别为的一阶与二阶极点，1,221ss)(sF22ee)1(1]2,)([ResststsssF,2et1)e(e2]1,)([ResststsssF(2)]1,)([Res]2,)([Res)(eetstssFsFtf.eee2tttt.eettt13第三节Laplace逆变换)3(]4)1[()1()(22ssssF(1)解方法一利用查表法求解(复根)3sA,4)1(2sCsB,2)1(2)1(22sCsB,)3](2)1([]2)1[()1(222sCsBsAs令得,3s;2A令得,21is,)22()22()22(2iCBii,1,1CB21114第三节Laplace逆变换)3(]4)1[()1()(22ssssF解(1)方法一利用查表法求解(重根)3sA,4)1(2sCsB,2)1(2)1(22sCsB211,2)1(22)1(13122222ssss(2)由][11as,eta][2212)1(1ss,2cosett][2212)1(2s,2sinett])([)(1sFtf.2sin2cos2eee3ttttt得15第三节Laplace逆变换解方法二利用留数法求解(略讲)(1)为的一阶极点，iss21,33,21)(sF,2]3,)([Res3eettssF.21]21,)([Res)21(eetitsiisF.2sin2cos2eee3ttttt(2)tititiitf)21()21(3eee21212)(16第三节Laplace逆变换解方法一利用查表法求解,)1(1111)(2ssssF.1)(eettttf方法二利用留数法求解]1,)([Res]0,)([Res)(eetstssFsFtf分别为的一阶与二阶极点，1,021ss)(sF02)1(estss1)e(stss.1eettt17第三节Laplace逆变换解方法三利用卷积定理求解.1eettt1etttτττ0d1e][][1)1(1121ss][21)1(11)(sstf方法四利用积分性质求解.d)()(101][tttgsGs.1eettttttt0detts021d])1(1[][21)1(11)(sstf18第三节Laplace逆变换轻松一下……19第三节Laplace逆变换利用留数计算反演积分的定理证明附：证明如图，作闭曲线,RCLC大时，可使的所有奇点包含tssFe)(当R充分在C围成的区域内。LCR解析RjRj由留数定理有：CtsssFd)(e,],)([Res2e1ktsnkssFiπRCtsLtsssFssFd)(d)(ee由若尔当引理(§5.3),当时，0t,0d)(limeRCtsRssF.],)([Rese1ktsnkssFjjtsssFjπd)(21e即得(返回)20第三节Laplace逆变换将上式两边同乘以得)(as)()()()(1assQassP,)()()(11assQsPA1.Q(s)含单重一阶因子的情况,)()()(1sQassQ,)(as若Q(s)含单重一阶因子即)()()(sQsPsF)()()(1sQassPasA,)()(11sQsP则将实系数真分式化为部分分式附：)(/)()(sQsPsF,asassQsPA)()(1.)()(1aQaP令即得21第三节Laplace逆变换2.Q(s)含多重一阶因子的情况,)(mas,)()()(2sQassQm若Q(s)含多重一阶因子即)()()(sQsPsF)()()(2sQassPm则,)()()()(221110sQsPasAasAasAmmm将上式两边同乘以得mas)(1110)()(mmasAasAA)()(22sQsP,)(mas)()(2sQsP将实系数真分式化为部分分式附：)(/)()(sQsPsF22第三节Laplace逆变换2.Q(s)含多重一阶因子的情况,as两边逐次求导，并令即得,asassQsPA)()(20,)()(2aQaP令即得askkksQsPskA)()(dd!12.)1,,2,1(mk1110)()(mmasAasAA)()(22sQsP,)(mas)()(2sQsP将实系数真分式化为部分分式附：)(/)()(sQsPsF23第三节Laplace逆变换将实系数真分式化为部分分式附：)(/)()(sQsPsF上面讨论了含单重和多重一阶因子的情况，如果是)(sQ在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。但如果仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。即如果复数为的零点，那么它的共轭复数jbaz)(sQ也必为的零点。jbaz)(sQ因此，必含有(实的))(sQ由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的，下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。.)(22bas))((zszs二阶因子24第三节Laplace逆变换,)(])[()(322sQbassQ)()(3sQsPbDasC)()()(33sQsP,])[(22bas)(])[()()(322sQbassPsF22)()(basbDasC)()(33sQsP则,)(22bas将上式两边同乘以得3.Q(s)含单重二阶因子的情况将实系数真分式化为部分分式附：,)(22bas若Q(s)含单重二阶因子即)(/)()(sQsPsF令,bjas)()(3jbaQjbaP,bDjbC有25第三节Laplace逆变换3.Q(s)含单重二阶因子的情况将实系数真分式化为部分分式附：)(/)()(sQsPsF令,bjas)()(3jbaQjbaP,bDjbC有,)()(Im1][3jbaQjbaPbC.)()(Re1][3jbaQjbaPbD则求出系数C和D后，则的逆变换不难得到：22)()(basbDasC][221)()(basbDasC.)sincos(ebtDbtCta4.Q(s)含多重二阶因子的情况(略)(返回)