高考数学(理科)二轮复习【专题2】导数及其应用(含答案)

第3讲导数及其应用考情解读(1)导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．(2)利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用．1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．3．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值.热点一导数的运算和几何意义例1(1)(2014·广东)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a0)与曲线C2：x2＋y2＝52的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．思维启迪(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出．答案(1)5x＋y－3＝0(2)4解析(1)因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.(2)设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax20，C2在A处的切线的斜率为－1kOA＝－x0y0，又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，所以(－x0y0)·3ax20＝－1，即y0＝3ax30，又ax30＝y0－1，所以y0＝32，代入C2：x2＋y2＝52，得x0＝±12，将x0＝±12，y0＝32代入y＝ax3＋1(a0)，得a＝4.思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．(1)已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)且f(x)＝x2f′(π3)＋sinx，则f′(π3)＝________.(2)若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.答案(1)36－4π(2)2解析(1)因为f(x)＝x2f′(π3)＋sinx，所以f′(x)＝2xf′(π3)＋cosx．所以f′(π3)＝2×π3f′(π3)＋cosπ3.所以f′(π3)＝36－4π.(2)f′(x)＝sinx＋xcosx，f′(π2)＝1，即函数f(x)＝xsinx＋1在点x＝π2处的切线的斜率是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－a2，所以(－a2)×1＝－1，解得a＝2.热点二利用导数研究函数的性质例2已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值．思维启迪(1)直接求f′(x)，利用f′(x)的符号确定单调区间；(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到．解(1)因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝－a－1.当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：x(－∞，－a－1)－a－1(－a－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)??故f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)，单调增区间为(－a－1，＋∞)．(2)由(1)得，f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；单调增区间为(－a－1，＋∞)．所以当－a－1≤0，即a≥－1时，f(x)在[0,4]上单调递增，故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(0)＝a；当0－a－14，即－5a－1时，f(x)在(0，－a－1)上单调递减，f(x)在(－a－1,4)上单调递增，故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(－a－1)＝－e－a－1；当－a－1≥4，即a≤－5时，f(x)在[0,4]上单调递减，故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(4)＝(a＋4)e4.所以函数f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝a，a≥－1，－e－a－1，－5a－1，a＋4e4，a≤－5.思维升华利用导数研究函数性质的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(5)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．已知函数f(x)＝lnx＋2ax，a∈R.(1)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．解(1)∵f(x)＝lnx＋2ax，∴f′(x)＝1x－2ax2.∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝1x－2ax2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤x2在[2，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2，则a≤g(x)min，x∈[2，＋∞)，∵g(x)＝x2在[2，＋∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(2)＝1.∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1]．(2)由(1)得f′(x)＝x－2ax2，x∈[1，e]．①若2a1，则x－2a0，即f′(x)0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是增函数．所以f(x)min＝f(1)＝2a＝3，解得a＝32(舍去)．②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x＝2a.当1x2a时，f′(x)0，所以f(x)在(1,2a)上是减函数，当2axe时，f′(x)0，所以f(x)在(2a，e)上是增函数．所以f(x)min＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3，解得a＝e22(舍去)．③若2ae，则x－2a0，即f′(x)0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减函数．所以f(x)min＝f(e)＝1＋2ae＝3，得a＝e，适合题意．综上a＝e.热点三导数与方程、不等式例3已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax(a0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．(1)求函数F(x)的单调区间；(2)若以函数y＝F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤12恒成立，求实数a的最小值；(3)是否存在实数m，使得函数y＝g(2ax2＋1)＋m－1的图象与函数y＝f(1＋x2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．思维启迪(1)利用F′(x)确定单调区间；(2)k＝F′(x0)，F′(x0)≤12分离a，利用函数思想求a的最小值；(3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化．解(1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋ax(x0)，F′(x)＝1x－ax2＝x－ax2.∵a0，由F′(x)0⇒x∈(a，＋∞)，∴F(x)在(a，＋∞)上是增函数．由F′(x)0⇒x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a)上是减函数．∴F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．(2)由F′(x)＝x－ax2(0x≤3)得k＝F′(x0)＝x0－ax20≤12(0x0≤3)恒成立⇔a≥－12x20＋x0恒成立．∵当x0＝1时，－12x20＋x0取得最大值12，∴a≥12，即a的最小值为12.(3)若y＝g(2ax2＋1)＋m－1＝12x2＋m－12的图象与y＝f(1＋x2)＝ln(x2＋1)的图象恰有四个不同交点，即12x2＋m－12＝ln(x2＋1)有四个不同的根，亦即m＝ln(x2＋1)－12x2＋12有四个不同的根．令G(x)＝ln(x2＋1)－12x2＋12.则G′(x)＝2xx2＋1－x＝2x－x3－xx2＋1＝－xx＋1x－1x2＋1当x变化时，G′(x)和G(x)的变化情况如下表：(－∞，－1)(－1,0)(0,1)(1，＋∞)G′(x)的符号＋－＋－G(x)的单调性????由表知G(x)极小值＝G(0)＝12，G(x)极大值＝G(－1)＝G(1)＝ln2.又由G(2)＝G(－2)＝ln5－2＋1212可知，当m∈(12，ln2)时，y＝G(x)与y＝m恰有四个不同交点．故存在m∈(12，ln2)，使函数y＝g(2ax2＋1)＋m－1的图象与y＝f(1＋x2)的图象恰有四个不同交点．思维升华研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．已知函数f(x)＝a(x2＋1)＋lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)a2成立，求实数m的取值范围．解(1)由已知，得f′(x)＝2ax＋1x＝2ax2＋1x(x0)．①当a≥0时，恒有f′(x)0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．②当a0时，若0x－12a，则f′(x)0，故f(x)在(0,－12a]上是增函数；若x－12a，则f′(x)0，故f(x)在[－12a，＋∞)上是减函数．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当a0时，f(x)在(0,－12a]上是增函数，在[－12a，＋∞)上是减函数．(2)由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)a2成立，等价于ma－a2f(x)max.因为a∈(－4，－2)，所以24－12a121.由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝2a，所以ma－a22a，即ma＋2.因为a∈(－4，－2)，所以－2a＋20.所以实数m的取值范围为m≤－2.1．函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)0的必要不充分条件．2．可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点．3．利用导数解决优化