高考数学专题3_1 导数以及运算、应用试题 理(含解析)

专题3.1导数以及运算、应用【三年高考】1.【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)=ln,01,ln,1,xxxx图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()（A）(0,1)（B）(0,2)（C）(0,+∞)（D）(1,+∞)【答案】A2．【2016高考新课标2理数】若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b．【答案】1ln23．【2016高考新课标3理数】设函数()cos2(1)(cos1)fxaxax，其中0a，记|()|fx的最大值为A．（Ⅰ）求()fx；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明|()|2fxA．【解析】（Ⅰ）'()2sin2(1)sinfxaxax．（Ⅱ）当1a时，'|()||sin2(1)(cos1)|fxaxax2(1)aa32a(0)f,因此，32Aa．当01a时，将()fx变形为2()2cos(1)cos1fxaxax．令2()2(1)1gtatat，则A是|()|gt在[1,1]上的最大值，(1)ga，(1)32ga，且当14ata时，()gt取得极小值，极小值为221(1)61()1488aaaagaaa．令1114aa，解得13a（舍去），15a．（ⅰ）当105a时，()gt在(1,1)内无极值点，|(1)|ga，|(1)|23ga，|(1)||(1)|gg，所以23Aa．（ⅱ）当115a时，由(1)(1)2(1)0gga，知1(1)(1)()4aggga．又1(1)(17)|()||(1)|048aaaggaa，所以2161|()|48aaaAgaa．综上，2123,05611,18532,1aaaaAaaaa．（Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin2(1)sin|2|1|fxaxaxaa.当105a时，'|()|1242(23)2fxaaaA.当115a时，131884aAa，所以'|()|12fxaA.当1a时，'|()|31642fxaaA，所以'|()|2fxA.4．【2016高考山东理数】已知221()ln,Rxfxaxxax.（I）讨论()fx的单调性；（II）当1a时，证明3()'2fxfx＞对于任意的1,2x成立.当x)1,2(a时，0)(/xf，)(xf单调递减.综上所述，当0a时，函数)(xf在)1,0(内单调递增，在),1(内单调递减；当20a时，)(xf在)1,0(内单调递增，在)2,1(a内单调递减，在),2(a内单调递增；当2a时，)(xf在),0(内单调递增；当2a，)(xf在)2,0(a内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(内单调递增.5．【2016高考新课标1卷】已知函数221xfxxeax有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是fx的两个零点,证明：122xx.【解析】（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)xxfxxeaxxea．（i）设0a,则()(2)xfxxe,()fx只有一个零点．（ii）设0a,则当(,1)x时,'()0fx；当(1,)x时,'()0fx．所以()fx在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增．又(1)fe,(2)fa,取b满足0b且ln2ab,则223()(2)(1)()022afbbababb,故()fx存在两个零点．（iii）设0a,由'()0fx得1x或ln(2)xa．若2ea,则ln(2)1a,故当(1,)x时,'()0fx,因此()fx在(1,)上单调递增．又当1x时,()0fx,所以()fx不存在两个零点．若2ea,则ln(2)1a,故当(1,ln(2))xa时,'()0fx；当(ln(2),)xa时,'()0fx．因此()fx在(1,ln(2))a单调递减,在(ln(2),)a单调递增．又当1x时,()0fx,所以()fx不存在两个零点．综上,a的取值范围为(0,)．（Ⅱ）不妨设12xx,由（Ⅰ）知12(,1),(1,)xx,22(,1)x,()fx在(,1)上单调递减,所以122xx等价于12()(2)fxfx,即2(2)0fx．由于222222(2)(1)xfxxeax,而22222()(2)(1)0xfxxeax,所以222222(2)(2)xxfxxexe．设2()(2)xxgxxexe,则2'()(1)()xxgxxee．所以当1x时,'()0gx,而(1)0g,故当1x时,()0gx．从而22()(2)0gxfx,故122xx．6.【2015高考福建，理10】若定义在R上的函数fx满足01f，其导函数fx满足1fxk，则下列结论中一定错误的是（）A．11fkkB．111fkkC．1111fkkD．111kfkk【答案】C7.【2015高考新课标2，理12】设函数'()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f，当0x时，'()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是（）A．(,1)(0,1)B．(1,0)(1,)C．(,1)(1,0)D．(0,1)(1,)【答案】A8.【2015高考新课标1，理12】设函数()fx=(21)xexaxa,其中a1，若存在唯一的整数0x，使得0()fx0，则a的取值范围是（）(A)[-32e，1）(B)[-32e，34）(C)[32e，34）(D)[32e，1）【答案】D【解析】设()gx=(21)xex，yaxa，由题知存在唯一的整数0x，使得0()gx在直线yaxa的下方.因为()(21)xgxex，所以当12x时，()gx＜0，当12x时，()gx＞0，所以当12x时，max[()]gx=12-2e，当0x时，(0)g=-1，(1)30ge，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故(0)1ag，且1(1)3geaa，解得32e≤a＜1，故选D.9.【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=31,()ln4xaxgxx.(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；（Ⅱ）用min,mn表示m,n中的最小值，设函数()min(),()(0)hxfxgxx，讨论h（x）零点的个数.【解析】设曲线()yfx与x轴相切于点0(,0)x，则0()0fx，0()0fx，即3002010430xaxxa，解得013,24xa.因此，当34a时，x轴是曲线()yfx的切线.（Ⅱ）当(1,)x时，()ln0gxx，从而()min{(),()}()0hxfxgxgx，∴()hx在（1，+∞）无零点.当x=1时，若54a，则5(1)04fa，(1)min{(1),(1)}(1)0hfgg,故x=1是()hx的零点；若54a，则5(1)04fa，(1)min{(1),(1)}(1)0hfgf,故x=1不是()hx的零点.当(0,1)x时，()ln0gxx，所以只需考虑()fx在（0,1）的零点个数.10.【2014江西高考理第14题】若曲线xye上点P处的切线平行于直线210xy，则点P的坐标是________.【答案】(ln2,2)【解析】设切点P(,)ab，则由xye得：2,2,ln2,2aaakeeabe，所以点P的坐标是(ln2,2).11.【2014高考辽宁理第21题】已知函数8()(cos)(2)(sin1)3fxxxxx，2()3()cos4(1sin)ln(3)xgxxxxx.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x，使0()0fx；(Ⅱ)存在唯一1(,)2x，使1()0gx，且对（1）中的01xx.12.【2014高考大纲理第22题】函数ln11axfxxaxa.（I）讨论fx的单调性；（II）设111,ln(1)nnaaa，证明：23+22nann.【解析】（I）fx的定义域为2221,,1xxaafxxxa．（i）当12a时，若21,2xaa，则0,fxfx在21,2aa上是增函数；若22,0,xaa则0,fxfx在22,0aa上是减函数；若0,,x则0,fxfx在0,上是增函数．（ii）当2a=时,()()0,0fxfxⅱ?成立当且仅当()0,xfx=在()1,-+?上是增函数．（iii）当2a时，若()1,0x?，则0,fxfx在是()1,0-上是增函数；若20,2xaa，则0,fxfx在20,2aa上是减函数；若22,xaa，则0,fxfx在22,aa上是增函数．【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,导数的几何意义与导数的应用是高考的热点，年年都出题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出,导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间．所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏．解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．因此在2017年高考备考中应狠下功夫,抓好基础,提高自己的解题能力,掌握好解题技巧,特别是构造函数的灵活运用.预测2017年高考仍将以导数的应用为背景设置成的导数的综合题为主要考点．也有可能利用导数的几何意义出一道中等难度试题，如求切线，或求参数值，重点考查运算及数形结合能力，以及构造新函数等能力．也有可能考查恒成立与存在性问题.【2017年高考考点定位】高考对导数的考查主要有导数的运算，导数的几何意义，利用导数判断单调性，求最值，证明不等式，证明恒成立，以及存在性问题等，难度较大，往往作为把关题存在．考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1．常见函数的求导公式．（１）0)(C（C为常数）；（２）1)(nnxnx；（３）xxcos)(sin；（４）xxsin)(cos；（5）'lnxxaaa；（6）'x