直线与圆的方程的应用

直线与圆的方程的应用一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为22||AaBbCdABdrd=rdrd与r的大小关系2个1个0个交点个数图形相交相切相离位置rdrdrd则求圆心坐标及半径r（配方法）圆心到直线的距离d（点到直线距离公式）2220()()xaybrAxByC消去y20pxqxtΔ0:相交Δ=0:相切Δ0:相离dr:相交d=r:相切dr:相离几何方法代数方法判断直线和圆的位置关系例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）.ABA1A2A3A4OPP2分析：建立如图所示的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题——求出圆拱桥所在的圆的方程；然后解决这个实际问题——利用圆的方程求出点P2的坐标，从而求线段A2P2的长，解释实际意义——圆拱形桥支柱的高A2P2.ABA1A2A3A4OPP2yx解：建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径为r，那么圆的方程为：x2＋（y－b）2＝r2，点P（0,4），B（10,0）在圆上，所以有ABA1A2A3A4OPP2yx2222220+(4-b)=r,10+b=r,2210.5,14.5,br解得：222(10.5)14.5xy所以，圆的方程为：把的横坐标代入2P2x圆的方程得：222(2)(10.5)14.5y由题可知y＞0，解得：y≈3.86(m)答：支柱A2P2的高度约为3.86m.思考：不建立坐标系,如何解决这个问题?CB2PHOP，作222CACOOA即得14.5.r在2RtCPH△中，得2222206.25CHrOA，又14.5410.5,OC在RtCOA△中所以支柱A2P2的高度约是3.86m.OH=CH-OC3.86.解法如下CHB例2．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.探究:解决平面几何问题常利用“坐标法”，首先要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是如何选取坐标系？xyO如图所示探究：如图所示，设四边形的四个顶点分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d)，那么BC边的长为多少？yABCDMxOE22BCcb探究：四边形ABCD的外接圆圆心O′的坐标如何表示？O'ABCDxyOENM',2OMacxx'2ONbdyy,2Eax,2Edy过四边形外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，由中点坐标公式，有：证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四边形外接圆的圆心分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，O第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量.O'ABCDxyOENM由中点坐标公式，有：,MO'a+cx=x=2.NO'b+dy=y=2,Eax=2,Edy=2第二步:进行有关代数运算O'E22db+daa+c=(-)+(-)22222212bc，由两点间的距离公式，有：BC22bc，'OE12BC，所以即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.第三步:把代数运算结果翻译成几何关系.利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．第二步：通过代数运算，解决代数问题．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．【提升总结】题页练习：课本4132练习.如图,直角△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.2.如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上.|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2=2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).2.向量的方法：与圆有关的最值问题1.已知点A(3,0)及圆x2+y2=4,则圆上一点P到点A距离的最大值是,最小值是.【解析】1.方法一(几何法):圆的半径为2,圆心到点A的距离为3,结合图形可知,圆上一点P到点A距离的最大值是3+2=5,最小值是3-2=1.方法二(代数法):设P(x,y)是圆上任意一点,则|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+4-x2=13-6x,因为-2≤x≤2,所以当x=-2时,|PA|max2=25,则|PA|max=5;当x=2时,|PA|min2=1,则|PA|min=1.答案:51与圆有关的最值问题2.已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,则x-y的最大值和最小值分别是______和________.x2+y2的最大值和最小值分别是_____和_____.和是的最大值和最小值分别xy2.(1)设x-y＝b，则y＝x-b与圆x2＋y2-4x＋1＝0有公共点,即所以故x-y最大值为2＋,最小值为2-.(2)设＝k,则y＝kx与x2＋y2-4x＋1＝0有公共点,即所以,故最大值为,最小值为222b3,1126b26.+66yx22k3,1k3k3yx33.(3)圆心(2,0)到原点距离为2,半径r＝故(2-)2≤x2＋y2≤(2＋)2.由此x2＋y2最大值为7＋4,最小值为7-4.答案：33332626337437433,方程＝kx＋2有惟一解,则实数k的范围是()A.k＝±B.k∈(-2,2)C.k-2或k2D.k-2或k2或k＝±21x33【解析】选D.由题意知,直线y＝kx＋2与半圆x2＋y2＝1(y≥0①)只有一个交点．结合图形易得k-2或k2或k＝3.【类题试解】方程表示的曲线为()A.两个半圆B.一个圆C.半个圆D.两个圆【解析】选A.两边平方整理得:(|x|-1)2+(y-1)2=1,由|x|-1≥0得x≥1或x≤-1,所以(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1)或(x+1)2+(y-1)2=1(x≤-1),所以为两个半圆,故选A.2x12yy＝题组页练习：课本3144B1.若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x-5）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（）A.1B.2C.3D.4D解：选D.由题意作出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心C2,C1．则在Rt△C2AC1中，|C1A|=，|C2A|=，斜边上的高为半弦，用等积法易得：⇒52055202AB4.AB223.（2012江苏高考改编）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x+y-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是多少？分析：从圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系角度处理.设线点则圆满对，为题线大为2222222方法一：直上一（t，kt-2），心距足（t-4）+（kt-2）2tR有解.即（1+k）t-（4k+8）t+160有解，所以有（4k+8）-4×16（1+k）044所以0k，所以k的最大值.33方法二：由意，C到直的距离不于2，4k-244d=2所以0k，所以k的最大值3+1解：.3k1.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.5B.10C.15D.202222【解析】1.选B.圆的方程化为(x-1)2+(y-3)2=10,设圆心为G,易知G(1,3),最长弦AC为过E的直径,则|AC|=最短弦BD为与GE垂直的弦,如图所示,易得|BG|=,|EG|=|BD|=2|BE|=所以四边形ABCD的面积为S＝|AC||BD|＝210,102201135,222BGEG25.12102.某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图所示的一部分．现在陈师傅所在的车间准备重新做一个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈师傅在零件上画了一条线段AB，并作出了AB的垂直平分线MN，而且测得AB＝8cm，MN＝2cm．根据已有数据，试帮陈师傅求出这个零件的半径．ABNM【变式练习】解：以AB中点M为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知有A(－4，0)，B(4，0)，N(0，2)．设过A，B，N的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，代入A，B，N的坐标，可得16-4D+F=0，16+4D+F=0，4+2E+F=0，解得D=0，E=6，F=-16.ABNM┐xy因此所求圆的方程为x2＋y2＋6y－16＝0，化为标准方程是x2＋(y＋3)2＝52，所以这个零件的半径为5cm．ABNM┐xy1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.