1.1.3 正弦定理、余弦定理及其运用

正弦定理、余弦定理及其运用•一、考纲解读•二、正弦定理及其变形•三、余弦定理及其变形•四、实际应用问题中的基本概念和术语•五、例题讲解•六、高考题再现•七、小结本节课内容目录：一、考纲解读：在课标及《教学要求》中对正弦定理、余弦定理的要求均为理解(B)。在高考试题中，出现的有关试题大多为容易题，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形形状为主。二、正弦定理及其变形：sin,sin,sin222abcABCRRR2sinsinsinabcRABC2sin,2sin,2sinaRAbRBcRCABCabc::sin:sin:sinabcABC111sinsinsin222ABCSbcAacBabC(其中R是ABC外接圆的半径）1、已知两角和任一边，求其他两边和一角；(三角形形状唯一）2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。（三角形形状不一定唯一）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解决题型：解决题型：三、余弦定理及其变形：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababCABCabc222222222cos;2cos;2cos.2bcaAbcacbBacabcCab解决题型：1、已知三边，求三个角；（只有一解）2、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。（只有一解）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆四、实际应用问题中的基本概念和术语•仰角和俯角是与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，其中目标视线在水平线上方时叫仰角；目标视线在水平线下方时叫俯角。•方位角：一般指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角。ABC2,cCBb则中，若的范围是。例1.在锐角sinsin22cossinsincCBBbBB解：由sinsinbcBC得到000002900B45CBc2cos2,2bB则(某学生的解）五、例题讲解：例1五、例题讲解错因分析：ABC是锐角三角形，则要求00090,A0000090,090.BC前面解法忽视了对A的讨论。因为正确解答sinsin22cossinsincCBBbBB0000002900B45A+B+C=180B又000A=180-B-C=180-3B90解：由sinsinbcBC得到c2cos2,3bB则0030B45即0ABC,2,45,axbB在中，x若这个三角形有两解，求的取值范围。例2.xBCb22xbA1A2D例2则以C为圆心，2为半径画弧应与射线BD有两22,2222xxx即解：如图作2,2CDABCDx个交点，则要求若合题意的三角形有两个，,AABCab在中，已知和时，解得情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAabab解的个数一解两解一解一解无解ababABCbaABBC12ABCCBA已知两边和一边的对角，三角形解得一般情况。上表中A为锐角时，sinabAA为直角时，,abab均无解。时，无解；例3.在中,已知,判定的形状。ABC22()sin()abAB22()sin()abABABC解法一：原式可化为2222()sin()(sincoscossin)abCabABAB即：2222222222()()22aacbbbcaababcaccbc例三222222222222(),1abababababcc即（）（）=0ab得：或222abcABC即是等腰三角形或是直角三角形。解法二：原式可化为22(sinsin)(sincossincos)ABABBA22(sinsin)(sincoscossin)ABABAB化简得：22sincossinsinsincos0AABABBsinsin(sincossincos)0ABAABB也即(0,),(0,)sin0,sin0ABAB0sin2sin2,A=BA+B=90AB则即，或ABC即是等腰三角形或是直角三角形。解法二判断三角形形状时，可以将边化到角也可以将角化到边，或边角同时互化。在转化过程中，三角形边角具有的基本性质不能忘记。0180如内角和为，每个内角大于000180小于等。点评：03B2bac.且满足求证：例四：ABCABC,,abc,,内角的对边分别是22222cos222122acbacacBacacacacac(0,)B又03B证明：ABC在中例四点评:本题通过基本不等式的运用构造不等关系，再利用三角形的内角具有的范围，得到结论.060例五、如图所示，某海岛上一观察哨A上午12时20分测得船在海岛北偏西12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海如果轮船始终匀速直线前的B处，11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，0605km岛的E港口，进，问船速多少？例五分析：已知从C到B及B到E的时间，要知船速度，只需知道CB,BE或CE中的任一长度即可。题中只知AE=5km，那么只要将已知长度的边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，再通过正弦定理或余弦定理进行计算即可。解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见：4BCEB，EBx4Bcx0030,150BAEEAC设，则，由已知得在AEC中，由正弦定理sinsinsinsinECAEAEEACCEACCEC05sin150152xxABC0014sin432sin3sin120sin12032xBCABBCCxABC在中，由正弦定理得：ABE22202cos30BEABAEABAE在中，由余弦定理得：1643331312525,33233BE故所以船速3139313BEvt六、高考题再现：coscossin,aBbAcC(3,1),(cos,sin),mnAA,,ABCabc为,mn1.（2008山东理）已知的对边，向量若且则角B=＿＿三个内角,m0.mnn得到分析：由转化为三角问题。2.（2009全国Ⅰ理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为,,.abc已知222,sincos3cossin,acbACAC且求b.分析：求边长，考虑将角向边转化。3.（2009浙江理）在ABC中，三个内角,,ABC所对的边分别为,,.abc且满足cos2A25,3.5ABAC(1)求ABC的面积；（2）若6,bc求a的值.分析：利用倍角公式求出A的三角函数值，bc通过向量的数量积求出的积，即可。4.（2010江苏）在锐角三角形,BCABCA中、、的对边分别为,,,6cos,baabcCab则tantantantanCCAB＿＿分析：可将所求结论切化弦，再利用正弦、余弦定理求解。小结：处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本解型，特别是“边边角”型可能有两解、一解或无解的三种情况。•三角形中的三角变换，实质就是有条件的三角式的计算与证明。祝同学们暑期愉快、学习进步!小结作业1.以三角形为背景求值或证明三角等式，是三角变换中的两个基本问题，活用正、余弦定理，从整体进行变形和运算，是解题的基本思想.2.利用正、余弦定理化边为角，或者化角为边，是处理三角形中三角变换问题的基本策略，是实现三角运算与代数运算相互转化的主要手段.作业：P10习题1.1A组：3.