1.两角和与差的余弦公式

第三章三角恒等变换第一课时两角和与差的余弦公式问题提出1.在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.而对于非特殊角如75°，15°的三角函数值如何求？探究（一）：两角差的余弦公式思考1：设α，β为两个任意角,猜想cos(α－β)＝?cos(60°－30°)≠cos60°－cos30°cos()coscos?思考2：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量、的坐标分别是什么？其数量积是什么？ΟΑΟBBOAxyαβ(cosα,sinα)ΟΑcoscossinsinOAOB(cosβ,sinβ)OBOQOP,==OQOP,cos)cos(OQOP,=②OQOP,=①两边同时取余弦我们可以得出①②sinsincoscos)(cos:所以k2k2Zk？思考3：向量的夹角θ,根据数量积定义等于什么?θ与α、β有什么关系？由此可得什么结论？cosOAOBOAOBBOAxyαβθcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα-β=2kπ＋θOAOBcos思考4：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？)(C探究（二）：两角和的余弦公式思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？()Ccos(α+β)究竟可以表示成什么样子？coscos()cos03636213coscoscoscos.3622coscoscos.设、，则而21221221yyxxPP--两点间的距离公式，则，、，意两点设直角坐标平面内的任222111yxPyxPyxo1P2P2N1NQ1M2M两角和的余弦公式另一推导（教材P138页B组第4题）（1）分别指出点P1、P、P2、P3的坐标？（2）弦P1P3的长如何表示？（3）如何构造弦P1P3的等量关系？单位圆上点的坐标表示P1PP2P3）βαα+β1xyo两角和与差的余弦两角和的余弦公式另一推导2222αsinβsinαcosβcosβαsin1βαcos得：βαcos22展开整理，得,βsinαsinβcosαcos22P1P4P3P2xoyα-ββα+β-11-1βsinαsinβcosαcos)βαcos(由及两点间距离公式1324PPPP两角和与差的余弦）（简记：βαC.βsinαsinβcosαcosβαcosα、β是任意角α、β是任意角α、β是任意角α、β是任意角用-β代替β）（简记：βαC.βsinαsinβcosαcosβαcoscoscoscossinsin两角和与差的余弦453030304545604560604545coscoscossinsin1.请用特殊角分别代替公式中α、β，你会求哪些非特殊角的余弦值呢？coscoscossinsin两角和与差的余弦2.,2若固定，分别用代替，你将发现什么结论呢？cos()cos.βπππββ222cos()sin2可以进一步发现两角和与差的余弦公式与余弦的诱导公式有密切的联系。两角和与差的余弦3．倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？coscoscossinsin如：cos(α+α)=cos2α=cos2α-sin2α，cos(α-α)=cos0=cos2α+sin2α=1.…探究（三）：公式的正向应用例1.利用余弦公式求cos15°的值.coscoscos45cos30sin45sin302321222262.4解：15（45-30）=构造特殊角求值cos15另解：求的值。cos15=6045coscos45sin60sin45123262.22224cos=60的值。、思考：如何求75sin15sin两角和与差的余弦coscoscossinsin练习：（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°（2）cos215°-sin215°智力抢答（3）cos80°cos35°+cos10°cos55°22233sincos1()sin1cos,253431cos()coscossinsin()()6662552343,103431cos()coscossinsin()()6662552343.10解：且，＝例2.已知43cos(),cos(),cos().5266求探究（三）：公式的正向应用给值求值3sin,5cos()4a练习1：已知是第四象限的角，求的值。给值求值123cos(),cos(2),cos135思考：，为锐角，求。理论迁移练习2：已知β是第三象限角,求cos(α－β)的值.4sin,5,,25cos,134sin,5,,2解：由得22512sin1cos11313又由β是第三象限角，得5cos,132243cos1sin155所以cos(α－β)=33coscossinsin65给值求值提示：coscos().拆角思想:的值。求都是锐角，已知例cos,135)cos(,54cos,.3探究（三）：公式的正向应用给值求值4.1cos20cos25sin20sin25例（）求值抢答2cos()cossin()sin（）化简探究（三）：公式的逆向应用cos[()]cos.解：原式练习1：化简求值cos20cos70sin20sin70（1）cos()cos()sin()sin()（2）cos58cos37cos32cos53（3）cos()cos()73,2,,cos244442.已知=，=-，且55+-求提示：cos2cos(.)()拆角思想:345.sinsin,coscos,cos(-)55例已知求。给值求值探究（三）：公式的变形应用sinsinsin80coscoscos80cos().练习：已知，，求31sinsin,coscos,cos().22拓展练习：若求的值2222223(sinsin)sin2sinsinsin41(coscos)cos2coscoscos422sinsincoscos)11cos().2解：由已知条件得知将上面两个式子相加得到：（所以56.ABsinA,5310cos,A-B.10B例已知为锐角，为钝角，且求给值求角探究（三）：公式的变形应用113coscos(-)0,7142练习：已知，，且求的值。31.()cossin.22fxxx例7求函数的周期coscossinsin66cos()62.xxx解：原式所以函数的周期是探究（三）：公式的变形应用()sin3cos.fxxx练习：求函数的最值13()2(sincos)222(coscossinsin)662cos()622672,2.6fxxxxxxxkkZxkkZ解：所以当，时最大值是；当时最小值是公式的变形应用小结反思、消化知识cos()coscossinsin1、学习了两角和与差的余弦公式的推导。2、强化了对公式的正向、逆向、变形应用。cos()coscossinsin1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.作业：P127练习：1，2，3，4.3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β)等.同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.6)6(分层作业，满足需求A层：非常学案中的剩余练习，课本135页A组2、3，B组1、2、4、5.B层：课本135页探索与研究。