三角函数、解三角形 经典

1第一讲：任意角的三角函数㊣正确理解角判断：(1)小于90°的角是锐角．()(2)终边相同的角相等．()(3)已知角是第二象限角，则角2是第一象限角．()㊣在下列各组角中，终边不相同的一组是（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆60与300B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆230与950C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1050与300D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1000与80变式迁移：若是第二象限的角，试分别确定2，2的终边所在位置．二、了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.360°＝______rad；180°＝____rad；1°＝________rad；1rad＝_______________≈57.30°.㊣（1）－160°＝________rad；（2）310πrad＝________．3．弧长公式与扇形面积公式弧长公式：rl，扇形面积公式：22121rrlS扇.扇形周长公式：c=㊣已知扇形的半径为10cm，圆心角为120°，则扇形的弧长为________，面积为________．㊣已知扇形的面积为2cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为_______．探究点扇形的弧长、面积公式及其应用.(1)已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的圆心角是1弧度，求该扇形的面积。(2)扇形的周长是4，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是变式迁移：已知扇形的周长为4cm，当它的半径为_________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，最大面积为________．三、理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．三角函数的第一定义（一般定义）：设是任意一个角，P(,)xy是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r，那么sin=，cos=，tan=，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。2．三角函数值的符号sin＞0，则角的终边在：；cos＞0，则角的终边在：；tan＞0，则角的终边在：；㊣已知sin＜0且tan＞0，则角是第________象限角.㊣[教材改编]已知点P(tan，cos)在第三象限，则角的终边在第________象限．㊣若则,0cossin在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限㊣已知点P（sin－cos，tan）在第一象限，则在[0，2π]内角的取值范围是()A．π2，34π∪π，54πB．π4，π2∪π，54πC．π2，34π∪54π，32πD．π4，π2∪34π，π㊣已知是锐角，利用三角函数线证明：sin＜＜tan2探究点三角函数的定义(1)角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是；(2)已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为；变式迁移：(1)已知角α的终边经过点P(－5m，12m)（m≠0）则sin的值是；则sin－2cos的值为________．第二讲：同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、理解同角三角函数的基本关系式：22sincos1，sintancos.2)cos(sin＝；2)cos(sin＝；题型一sin，cos，tan知一求二问题：（1）已知12sin13，并且是第二象限角，求tan,cos.（2）已知43tan，并且是第三象限角，求sin,cos．（3）已知tan=21,求下列各式的值:(1)aaaacossinsincos2；(2)2sin2α+sinα·cosα-3cos2α.（4）已知cossin,45cossin则（）A．47B．169C．329D．329（5）已知－π2＜＜0，sin＋cos＝15，则sin－cos的值为；探究点同角三角函数基本关系式及应用(1).已知是第二象限角，sin＝513，则cos＝()A．－1213B．－513C．513D．1213(2).已知tan＝－512，且为第二象限角，则sin的值等于()A.15B．－115C.513D．－513(3).若tan＝2，求2coscossincossin的值变式迁移：若为第三象限角，则22cos1sin2sin1cos的值为()A．－3B．－1C．1D．3题型二三角函数的诱导公式:（2k）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.一、求任意角的三角函数值１．sin（－600°）的值是（）3２．sin585°＝；300cos＝；tan2010°＝；cos(－320)＝；二、化简求值１．已知cos＝－35，则)2sin(等于________．２．已知53sin，且是第四象限的角，则)2cos(的值是．３．化简)3tan()cos()2sin()tan()2sin(变式迁移：已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．第三讲：三角恒等变换1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式【6个和差公式】cos(α＋β)＝；cos(α－β)＝；sin(α＋β)＝；sin(α－β)＝；tan(α＋β)＝；tan(α－β)＝；公式可变形为：tanα±tanβ＝；2．二倍角公式【5个二倍角公式】sin2α＝；tan2α＝；cos2α＝＝＝；3．降幂公式【3个降幂公式】cossin；2sin；2cos；4．辅助角公式：22sincossinaxbxabx题型一公式计算1．①75sin=；75cos=；②20sin80sin20cos80cos=；③sin72cos42cos72sin42=；④cos20cos70sin20sin70=；⑤tan350＋tan2501－tan350tan250=；tan710－tan2601＋tan710tan260=；15tan115tan1=；415tan3115tan3=；⑥sin15°cos15°=；2coscos55=；⑦2cos215°—1=；sin28—cos28=；cos4—sin4=；12cos212=；⑧2tan22.51tan22.5oo=；⑨sin15°－3cos15°=；（10）若记k)80cos(，则100tan________（11）已知54sin，),2(，135cos，是第三象限角，求)cos(（12）已知53sin，是第四象限角，求)4sin(、)4cos(、)4tan(（13）若为第二象限角，且54sin，则2tan_______（14）已知4，求)tan)(tan(11的值（15）已知32BA，求2tan2tan32tan2tanBABA的值（16）若2008tan1tan1，则1tan2cos2（17）已知是第三象限角，且54cos，则2tan12tan1__________（18）若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α等于；（19）已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tanαtanβ的值为；点评：在三角函数的化简与求值问题中，一要尽量减少三角函数名，二要尽量减少角的个数，这里用到“化切为弦”，即将正切化为我们更熟悉的正弦和余弦题型二给角求值在求值过程中，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行局部变换。另外要观察所给角与特殊角之间的关系，要尽量利用三角公式将非特殊角转化为特殊角。（1）78sin66sin42sin6sin___，50cos20sin50cos20sin22___；（2）sin163sin223sin253sin313_____；80cos15cos25sin10sin15sin65sin______；（3）求值：20sin135cos20cos________；)212cos4(12sin)312tan3(2________；5题型三给值求值解决此类问题的关键在于角的“整体代换”，找出已知式与欲求式的角的和、差、倍、半、互余、互补等关系，另外还要注意角的范围的讨论（1）已知102)4cos(，432，则sin______；（2）已知53)4cos(，232，则)42cos(________；（3）已知52)tan(，41)4tan(，则)4tan(________题型四给值求角解决此类问题的关键是先求出此角的某一个三角函数值，然后根据角的范围确定角的大小，此时要注意根据三角函数值的正负号或比较特殊角的三角函数值大小挖掘隐含条件，要尽量减小角的范围。（1）若55sin1010sin，且、为锐角，求（2）已知、、均为锐角，且21tan，51tan，81tan，求（3）已知21)tan(，71tan，、),0(，求2第四讲：三角函数的图像与性质知识点BxAy)sin(的性质最值：BA和BA；单调性：若0A，则正向讨论，即令22kx22k，可求得函数的单调增区间；若0A，则反向讨论，即令22kx232k，可求得函数的单调增区间周期：最小正周期是2T对称性：令1)sin(0x，可求得函数)(xf的所有对称轴0xx；令0)sin(0x，可求得函数)(xf的所有对称中心),(0Bx三角函数图像的特点：①相邻对称轴之间的距离为；②相邻对称中心之间的距离为；③相邻对称轴和对称中心之间的距离为；6题型一函数周期性1.函数)62sin(2xy的最小正周期是（）3.若函数()sin()5fxkx的最小正周期是23，求正数k值为；3.函数xysin的周期为；函数xytan的周期为.函数21)32sin()(xxf的最小正周期是____4.1)cos(sin2xxy是()A．最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数题型二函数图象的变换（1）．某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到函数y＝sinx＋π4的图像，则原函数的表达式是______________．（2）．为了得到函数sin(2