2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修4 §3

知识点一两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(C(α－β))cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(C(α＋β))sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(S(α－β))sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(S(α＋β))tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ；(T(α－β))tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ.(T(α＋β))知识点二二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α；(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α)tan2α＝2tanα1－tan2α.(T2α)知识点三辅助角公式及常用变形公式1．辅助角公式(1)asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)其中a0，tanφ＝ba，－π2φπ2；(2)acosα－bsinα＝a2＋b2cos(α＋φ)其中a，b0，tanφ＝ba，0φπ2.特别提醒：常用的6个式子：①sinα±cosα＝2sinα±π4；②3sinα±cosα＝2sinα±π6；③sinα±3cosα＝2sinα±π3；④cosα－sinα＝2cosα＋π4；⑤3cosα－sinα＝2cosα＋π6；⑥cosα－3sinα＝2cosα＋π3.2．常用变形公式(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)①1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，②1－sin2α＝(sinα－cosα)2，③1＋cos2α＝2cos2α，④1－cos2α＝2sin2α.知识点四简单的三角恒等变换1．变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形式，不变其性质．2．变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的．3．变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式．4．变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径．题型一两角和与差的公式的应用例1(1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，则cos(α＋β)的值为________．(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．答案(1)－239729(2)－3π4解析(1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×75272－1＝－239729.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171－12×－17＝13＞0，∴0＜α＜π2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171＋34×－17＝1.∵tanβ＝－17＜0，∴π2＜β＜π，∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4.感悟与点拨(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝α－β2－α2－β.(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．跟踪训练1(1)(2017年4月学考)已知θ为锐角，且sinθ＝35，则sin(θ＋45°)等于()A.7210B．－7210C.210D．－210(2)已知α∈0，π2，β∈π2，π，cos2β＝－79，sin(α＋β)＝79.则sinα＝________.答案(1)A(2)13解析(1)∵θ为锐角且sinθ＝35，∴cosθ＝45.∴sin(θ＋45°)＝sinθcos45°＋cosθsin45°＝35×22＋45×22＝7210.(2)∵β∈π2，π，∴cosβ＜0，sinβ＞0.又cos2β＝2cos2β－1＝－79，∴cosβ＝－13.sinβ＝1－cos2β＝223.而α＋β∈π2，3π2，且sin(α＋β)＝79，∴α＋β∈π2，π∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－429.故sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝79×－13－－429×223＝13.题型二二倍角公式的应用例2(1)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为____________．(2)cosπ12－sinπ12cosπ12＋sinπ12＝________.答案(1)π6或5π6(2)32解析(1)∵3sinx＝1＋cos2x＝2－2sin2x，∴2sin2x＋3sinx－2＝0，∴sinx＝12，sinx＝－2(舍去)．又x∈[0,2π]，∴x＝π6或5π6.(2)cosπ12－sinπ12cosπ12＋sinπ12＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.感悟与点拨(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子的结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有①化为特殊角的三角函数值；②化为已知角的三角函数值．跟踪训练2(1)(2016年10月学考)函数f(x)＝1－2sin22x是()A．偶函数且最小正周期为π2B．奇函数且最小正周期为π2C．偶函数且最小正周期为πD．奇函数且最小正周期为π(2)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α等于()A.6425B.4825C．1D.1625答案(1)A(2)A解析(1)由题意知f(x)＝1－2sin22x＝cos4x，则f(－x)＝cos(－4x)＝cos4x＝f(x)．T＝2π4＝π2，所以f(x)为偶函数，最小正周期为π2.(2)cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosα＝cos2α＋4sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.题型三三角变换的应用例3(2017年4月学考)已知函数f(x)＝2cos2x－1，x∈R.(1)求fπ6的值；(2)求函数f(x)的最小正周期；(3)设g(x)＝fπ4－x＋3cos2x，求g(x)的值域．解(1)由已知可得f(x)＝cos2x，∴fπ6＝cosπ3＝12.(2)T＝2π2＝π.(3)∵g(x)＝fπ4－x＋3cos2x，∴g(x)＝cosπ2－2x＋3cos2x＝sin2x＋3cos2x＝212sin2x＋32cos2x＝2sin2x＋π3，∴g(x)∈[－2,2]．感悟与点拨三角变换和三角函数的性质相结合是考试的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题．跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，求：①函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；②函数f(x)的单调递增区间．(2)已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－xcosx－π3－3.①求f(x)的定义域与最小正周期；②讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．解(1)①∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋2sinxcosx＋2cos2x＝2sinxcosx＋1＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝222sin2x＋22cos2x＋2＝2＋2sin2x＋π4，∴当2x＋π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋π8(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋2.此时函数f(x)取得最大值的自变量x的集合为xx＝kπ＋π8，k∈Z.②由①得f(x)＝2＋2sin2x＋π4，令2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z)，因此函数f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8(k∈Z)．(2)①f(x)的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z.f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.②令－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，则－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.令π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，则5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ，k∈Z.∵－π12＋kπ，5π12＋kπ(k∈Z)∩－π4，π4＝－π12，π4，5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)∩－π4，π4＝－π4，－π12，∴f(x)在－π12，π4上单调递增，在－π4，－π12上单调递减．一、选择题1．已知角α的终边经过点P(－3,4)，则tan2α等于()A.247B.83C．－83D．－247答案A解析∵tanα＝4－3＝－43，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×－431－－432＝247.2．cos160°sin10°－sin20°cos10°等于()A．－32B.32C．－12D.12答案C解析cos160°sin10°－sin20°cos10°＝－cos20°sin10°－sin20°cos10°＝－(cos20°sin10°＋sin20°cos10°)＝－sin30°＝－12，故选C.3．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝35，sinα＝513，则cosβ的值为()A.5665B.3365C.1665D.6365答案A解析根据题意知，α，β为锐角，若sinα＝513，则cosα＝1213，若cos(α＋β)＝35，则α＋β也为锐角，则sin(α＋β)＝45，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝35×1213＋45×513＝5665.4．已知sin2α＝13，则cos2α－π4等于()A．－13B．－23C.13D.23答案D解析cos2α－π4＝1＋cos2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23.5．当－π2≤x≤π2时，函数f(x)＝sinx＋3cosx的()A．最大值是1，最小值是－1B．最大值是1，最小值是－12C．最大值是2，最小值是－2D．最大值是2，最小值是－1答案D解析∵f(x)＝sinx＋3cosx＝212sinx＋32cosx＝2sinx＋π3，∵x∈－π2，π2，∴x＋π3∈－π6，56π，∴sinx＋π3∈－12，1，∴f(x)∈[－1,2]，故选D.6．在△ABC中，tanB＝－2，tanC＝13，则A等于()A.π4B.3π4C.π3D.π6答案A解析∵在△ABC中，tanB＝－2，tanC＝13，∴tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝－tanB＋tanC1