2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修4 §5

知识点一平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积特别提醒：(1)两非零向量a＝OA→，b＝OB→，则a与b夹角为∠AOB，其范围是[0，π]；(2)数量积是一个实数；(3)零向量与任一向量的数量积为零．知识点二平面向量数量积的性质及运算律1．数量积的重要性质对于非零向量a，b，(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ，其中θ为a与e的夹角，e为单位向量；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝a·a；(4)cosθ＝a·b|a||b|，其中θ为a与b的夹角；(5)|a·b|__≤__|a||b|.2．数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.知识点三平面向量数量积、模、夹角的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝x21＋y21或|a|2＝x21＋y21.(3)cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.知识点四向量垂直的充要条件设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量)．题型一向量的夹角与模的问题例1(1)(2016年10月学考)设向量a＝(x－2,2)，b＝(4，y)，c＝(x，y)，x，y∈R，若a⊥b，则|c|的最小值是()A.255B.455C.52D.5(2)(2016年4月学考)已知平面向量a，b满足|a|＝34，b＝e1＋λe2(λ∈R)，其中e1，e2为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量a，b恒有|a－b|≥34，则e1，e2夹角的最小值为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案(1)B(2)B解析(1)由题意得a·b＝(x－2,2)·(4，y)＝0，即2x＋y＝4.方法一∴|c|＝x2＋y2＝x2＋4－2x2＝5x2－16x＋16＝5x－852＋165≥455.方法二∵|c|＝x2＋y2，即直线2x＋y－4＝0上的点(x，y)到原点(0,0)的距离，∴|c|min＝|2×0＋0－4|22＋12＝455.(2)∵|a－b|≥34，∴a2－2a·b＋b2＝|b|2－32|b|cos〈a，b〉＋316≥316，∴|b|2－32|b|cos〈a，b〉≥0，即|b|≥32cos〈a，b〉．即|b|≥32，∴|e1＋λe2|2≥34，设e1与e2的夹角为θ，则e21＋2λ|e1||e2|cosθ＋λ2e22≥34，∵|e1|＝|e2|＝1，则λ2＋(2cosθ)λ＋14≥0，∴Δ＝4cos2θ－4×14≤0，∴－12≤cosθ≤12，又θ∈[0，π]，∴θ的最小值为π3.感悟与点拨(1)求夹角或模可以直接利用公式：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22，|a|＝x21＋y21.(2)利用|a|2＝a2，即|a|＝a·a.(3)利用方程与函数的思想构建关于角或模的函数或方程求解．跟踪训练1(1)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|等于()A．1B．3C．4D．5(2)(2018年4月学考)若平面向量a，b满足2a＋b＝(1,6)，a＋2b＝(－4,9)，则a·b＝________.(3)已知△ABC外接圆的圆心为O，且OA→＋3OB→＋2OC→＝0，则∠AOC＝________.答案(1)C(2)－2(3)2π3解析(1)根据条件，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9－3|b|＋|b|2＝13，解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．(2)∵2a＋b＝(1,6)，a＋2b＝(－4,9)，∴a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴a·b＝(2,1)·(－3,4)＝－6＋4＝－2.(3)设|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，OA→＋2OC→＝－3OB→，两边平方，∴12＋4·OA→·OC→＋4×12＝3×12，∴OA→·OC→＝－12，∴cos〈OA→，OC→〉＝－12，∵0＜∠AOC＜π，∴∠AOC＝2π3.题型二向量的平行与垂直例2已知平面向量a＝(2，x)，b＝(2，y)，c＝(3，－4)，且a∥c，b⊥c，则a与b的夹角为________．答案π2解析∵a∥c，∴－8－3x＝0，解得x＝－83.∵b⊥c，∴6－4y＝0，解得y＝32.∴a＝2，－83，b＝2，32.设a与b的夹角为θ，且θ∈[0，π]，则cosθ＝a·b|a||b|＝2×2－83×3222＋－83222＋322＝0，∴θ＝π2，即向量a与b的夹角为π2.(2)在△ABC中，点A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为边BC上的高，求AD→与点D的坐标．解设点D的坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)，∵点D在直线BC上，即BD→，BC→共线，∴存在实数λ，使BD→＝λBC→，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴x－3＝－6λ，y－2＝－3λ，得x－2y＋1＝0.①又∵AD→⊥BC→，∴AD→·BC→＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，即2x＋y－3＝0.②由①②，得x＝1，y＝1，∴AD→＝(－1,2)，点D的坐标为(1,1)．感悟与点拨a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b为非零向量．(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.跟踪训练2(1)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值为()A．－32B．－53C.53D.32答案A解析∵c＝(1＋k,2＋k)，又b·c＝0，∴1＋k＋2＋k＝0，∴k＝－32.(2)在平面四边形ABCD中，向量a＝AB→＝(4,1)，b＝BC→＝(3，－1)，c＝CD→＝(－1，－2)．①若向量a＋2b与向量b－kc垂直，求实数k的值；②若DB→＝mDA→＋nDC→，求实数m，n.解①∵向量a＋2b与向量b－kc垂直，∴(a＋2b)·(b－kc)＝0.∴(10，－1)·(3＋k，－1＋2k)＝0.∴30＋10k＋1－2k＝0，∴k＝－318.②∵BD→＝BC→＋CD→＝(2，－3)，∴DB→＝(－2,3)．∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(6，－2)，∴DA→＝(－6,2)，DC→＝(1,2)．∵DB→＝mDA→＋nDC→，∴(－2,3)＝m(－6,2)＋n(1,2)，∴－2＝－6m＋n，3＝2m＋2n，解得m＝12，n＝1.题型三平面向量的综合应用例3(1)已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝2，存在单位向量e，使得(a－e)·(b－e)＝0，则|a－b|的取值范围是________________．(2)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若c为平面单位向量，则|a·c|＋|b·c|的最大值是________．答案(1)[7－1，7＋1](2)7解析(1)由(a－e)·(b－e)＝0，得a·b＋1＝e(a＋b)，所以|a·b＋1|＝|e(a＋b)|≤|a＋b|，即(a·b＋1)2≤|a＋b|2，所以(a·b)2≤7，所以a·b∈[－7，7]，所以|a－b|＝8－2a·b∈[7－1，7＋1]．(2)|a·c|＋|b·c|＝a·c|c|＋b·c|c|，其几何意义为a在c方向上的投影的绝对值与b在c方向上投影的绝对值的和，当c与a＋b共线时，取得最大值．∴(|a·c|＋|b·c|)max＝|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝7.感悟与点拨(1)熟练进行数量积、模、夹角的计算与转化．(2)充分利用向量加减运算，数量积运算的几何意义．(3)充分利用“数形结合”．(4)将向量坐标化，通过坐标运算来解决问题．跟踪训练3(1)已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，AB→·AC→＝－2，则|AG→|的最小值是()A.33B.22C.23D.34(2)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．答案(1)C(2)12解析(1)设BC的中点为M，则AG→＝23AM→.又M为BC的中点，所以AM→＝12(AB→＋AC→)，所以AG→＝23AM→＝13(AB→＋AC→)，所以|AG→|＝13AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→＝13AB→2＋AC→2－4.又因为AB→·AC→＝－2，∠A＝120°，所以|AB→||AC→|＝4.因为|AG→|＝13AB→2＋AC→2－4≥132|AB→||AC→|－4＝23，当且仅当|AB→|＝|AC→|时取“＝”，所以|AG→|的最小值为23，故选C.(2)因为|(a＋b)·e|＝|a·e＋b·e|≤|a·e|＋|b·e|≤6，所以|(a＋b)·e|≤|a＋b|≤6，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b≤6，即12＋22＋2a·b≤6，则a·b≤12，故a·b的最大值是12.一、选择题1．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为()A.π3B.π2C.2π3D.3π4答案C2．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝25，则|b|等于()A.5B．25C．5D．25答案C3．已知向量a，b满足a＋b＝(1，－3)，a－b＝(3,7)，则a·b等于()A．－12B．－20C．12D．20答案A解析方法一∵(a＋b)＋(a－b)＝2a＝(4,4)，∴a＝(2,2)，∴b＝(a＋b)－a＝(－1，－5)，∴a·b＝2×(－1)－2×5＝－12.方法二∵(a＋b)2－(a－b)2＝－48，∴4a·b＝－48，∴a·b＝－12.4．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→等于()A．－32a2B．－34a2C.34a2D.32a2答案D解析如图所示，∵BD→＝BA→＋BC→，CD→＝BA→，∴BD→·CD→＝(BA→＋BC→)·BA→＝BA→2＋BC→·BA→＝a2＋a·acos60°＝32a2.故选D.5．已知向量a，b满足|a|＝2，a·(b－a)＝－3，则b在a方向上的投影为()A.23B．－23C.12D．－12答案C解析∵|a|＝2，a·(b－a)＝－3，∴a·b－a2＝a·b－22＝－3,∴a·b＝1，∴向量b在a方向上的投影为a·b|a|＝12.故选C.6.如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是()A．2B．0C．－1D．－2答案D解析由平行四边形法则得PA→＋PB→＝2PO→，故(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→，又|PC→|＝2－|PO→|，且PO→，PC→反向，设|PO→|＝t(0≤t≤2)，则(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，(PA→＋PB→)·PC→取得最小值－2，故选D.7．在边长为1的正方形ABCD中，点M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC→·EM→的取值范围是()A.12，2B.0，32C.12，32D．[0,1]答案C解析如图，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，进而可得C(1,1)，M1，12，设E(x,0)(0≤x≤1)，所以EC→＝(1－x,1)，EM→＝1－x