第五章 点的运动学

t)(12)(ttt①运动学②运动学研究的对象③运动学学习目的④运动是相对的⑤瞬时、时间间隔⑥运动分类运动学的一些基本概念是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。(包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。①建立机械运动的描述方法②建立运动量之间的关系为后续课打基础及直接运用于工程实际。(relativity):参考体(物);参考系;静系;动系。1)点的运动2)刚体的运动引言§5–1点的运动矢量分析方法§5–2点的运动的直角坐标法§5–3点的运动的自然坐标法第五章点的运动学5一.运动方程，轨迹二.点的速度三.加速度rdtrdΔtrΔvΔt0limrdtrddtvdΔtvΔaΔt220lim§5-1点的运动矢量分析方法()rrtOM矢端曲线速度矢径矢端曲线切线加速度速度矢端曲线切线7一.运动方程轨迹二.点的速度kzjyixrkdtdzjdtdyidtdxdtrdvkvjvivvzyx2z2y2xvvvvvvivx)cos(vvjvy)cos(vvkvz)cos(§5-2点的运动的直角坐标法8三.加速度.kajaiakdtzdjdtydidtxdkdtdvjdtdvidtdvdtvdazyxzyx222222zyxaaaa222)cos(aaiax[注]这里的x,y,z都是时间单值连续函数。(t)fz(t)fy(t)fx321当消去参数t后,可得到F(x,y,z)=0形式的轨迹方程。例5-1椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中运动。,,OCACBClMCat已知：。求：①M点的运动方程；②轨迹；③速度；④加速度。解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。运动方程()cos()cosxOCCMlattalAMysin)(sin消去t,得轨迹1)((2222alyalx）求：运动方程、轨迹、速度和加速度。,,OCACBClMCat。已知：速度talxvxsintalyvycos)(22()sincos(,)2cos2xvlatvivlaalt22()coscos(,)2cos2yvlatvjvlaalt2222222222()sin()cos2cos2xyvvvlatlatlaalt求：运动方程、轨迹、速度和加速度。,,OCACBClMCat。已知：加速度talxvaxxcos2talyvayysin2taltalaaayx24224222sin(cos）2222cos2laalt22()coscos(,)2cos2xalataialaalt22()sincos(,)2cos2yalatajalaalt求：运动方程、轨迹、速度和加速度。,,OCACBClMCat。已知：例5-2正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角为其中为t=0时的夹角，为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b。求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。,t解：A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。运动方程)sin(sintrbrbxA)sin(sintrrxB求：①A，B点运动方程；②B点速度、加速度。,,,OMrtABb常数。已知：()xtTxtB点的速度和加速度trxvBBcos22sinBBBaxrtx周期运动频率Tf1求：①A，B点运动方程；②B点速度、加速度。,,,OMrtABb常数。已知：()sft1、弧坐标切向单位矢量2、自然轴系§5-3点的运动的自然坐标法0limsrdrsds副法线单位矢量bn切向单位矢量n主法线单位矢量密切面法平面主法线副法线自然坐标轴的几何性质曲率半径1dnds所以01limsdsds|||'|2||sin20,0,sin22ts当时于是1||001limlimstdnndsssddddddddrrssvvtstt3、速度ddddddvvavttt4、加速度ddddddsvntst代入2ddtnvvanaant则ddsvt22tnaaa22ddddtvsatt—切向加速度221ddnvsat—法向加速度tnaaa全加速度大小tnatga方向曲线匀速运动0000,,tavvssvt常数曲线匀变速运动20001,,2tttavvatssvtat常数23课堂练习①与有何不同?就直线和曲线分别说明。dtvddtdv(直线.曲线都一样),为速度的大小变化率,在曲线中应为切向加速度。adtvdadtdvdtdva24②指出在下列情况下,点M作何种运动?1,2,34,56789100na常数a0a常数0a0na常数va,0常数常数naa,00na0a常数常数naa,(匀变速直线运动)(匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止)(直线运动)(匀速运动)(圆周运动)(匀速运动)(直线运动)(匀速曲线运动)(匀变速曲线运动)25③点作曲线运动,画出下列情况下点的加速度方向。1M1点作匀速运动2M2点作加速运动3M3点作减速运动④判断下列运动是否可能出现,若能出现判断是什么运动?(加速运动)(不可能)(匀速曲线运动)(不可能或改作直线加速运动)(不可能或改作直线减速运动)(不可能)(减速曲线运动)26⑤1点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零2点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零答:1不一定.速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时)2加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度⑥切向加速度和法向加速度的物理意义？答：表示速度大小的变化表示速度方向的变化dtdva2van27⑦点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，还是越跑越慢？常数bdtdSvabtS222,,0baabvadtdvann由于点由外向内运动,曲率半径越来越小,所以加速度越来越大。而速度v=常数,故点运动快慢不变。解：例5-4列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。215ms=0.125ms120stvat2220.308mstnaaa①0,0nat20.125mstaa②120smin2t222(15ms)=0.281ms800mnvaR00,0ttavv常数已知：R=800m=常数，2min54kmhtv。02min,ttaa求：。0,0tav由常数tavt有解：由点M的运动方程，得txatxvxx4sin32,4cos8tyatyvyy4cos32,4sin84,0zzvzaz222222280ms,32msxyzxyzvvvvaaaa从而2d0,32msdtnvaaat而22.5mnva故例5-5已知点的运动方程为x=2sin4tm，y=2cos4tm，z=4tm。求：点运动轨迹的曲率半径。例5-6半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。(t解：M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。OCMCrrtttrMOOCxsinsin1从而trMOCOycos1cos11,,rt已知：常数。求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。由纯滚动条件1cos,sinxyvxrtvyrt)202sin2)cos1(222ttrtrvvvyx（22sin,cosxyaxrtayrt222raaayx,,rt已知：常数。求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。又点M的切向加速度为2cos2ttavr则有222sin2nttaaar,,rt已知：常数。求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。35