第五章 状态反馈控制器设计

第5章状态反馈控制器设计√建立了状态空间模型􀀹√提出了基于状态空间模型的运动分析􀀹√探讨了系统的定性分析：稳定性、能控性、能观性设计控制系统！开环控制、闭环控制经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的入；根据系统信息：状态反馈、输出反馈。5.1线性反馈控制系统系统模型5.1.1反馈控制系统结构。v为外部输入；控制器：动态补偿器、静态反馈控制器。状态反馈控制器：K称为是状态反馈增益矩阵。闭环系统：静态线性输出反馈控制：若v表示系统的参考输入，用代替，可得用输出误差来校正系统。当时，状态反馈变为输出反馈。一类特殊输出反馈。5.1.2反馈控制的性质在静态反馈下，闭环系统矩阵变为结论：反馈可以改变系统的动态特性。定理5.1.1状态反馈不改变系统的能控性。例考虑系统在状态反馈下的闭环系统能控能观性。结论：能控，不能观。状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。定理5.1.2输出反馈不改变系统的能控能观性。定理5.1.3状态反馈不改变单输入单输出系统零点5.1.3两种反馈形式的讨论：􀀹􀀹状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性；输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不能；利用系统的信息多，所能达到的性能好。5.2稳定化状态反馈控制器设计基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化控制器系统模型：控制律：闭环系统：闭环系统渐近稳定的充分必要条件是：即李雅普诺夫稳定性定理关键的问题：如何确定以上的矩阵K和P。5.2.1黎卡提方程处理方法如何使是闭环系统李雅普诺夫方程？矩阵P是对称的，若选取控制器设计转化为以下矩阵方程的求解问题：（黎卡提矩阵方程）优点：若对给定的常数，以上矩阵方程有解，则对任意的都是系统的稳定化控制律。结论：正无穷大的稳定增益裕度！例设计系统的一个稳定化状态反馈控制律展开矩阵方程，得到求取一个正定的解矩阵对任意的，稳定化控制律：5.3极点配置系统性能：稳态性能和动态性能稳态性能：稳定性、静态误差动态性能：调节时间、振荡、超调、上升时间...系统稳定性的决定因素：系统极点影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置）高阶系统（一对主导极点）结论：极点影响系统的稳定性和动态性能5.3.1问题的提出闭环系统：根据系统性能要求确定闭环极点，求矩阵K，使得5.3.2极点配置问题可解的条件和方法在什么条件下，极点配置问题可解？即存在使得闭环系统具有给定极点的控制器。􀀹如何设计具有给定闭环极点的控制器？解决问题的思路：首先对特殊的系统讨论；对一般的系统，设法化成特殊系统分析算法的可行性。从能控系统入手，以3阶能控标准型为例：状态反馈控制律：得到的闭环系统是其特征多项式是期望的闭环特征多项式要实现极点配置，须结论：􀀹对3阶能控标准型系统，极点配置问题可解；导出了极点配置状态反馈控制律；􀀹极点配置状态反馈控制律是惟一的。例对系统设计状态反馈控制，使得闭环系统的极点是-2和-3闭环特征多项式：期望特征多项式：比较可得：极点配置状态反馈控制律：闭环系统状态变量图：以上的方法可以推广到n阶能控标准型模型问题：对一般状态空间模型，如何解极点配置？思路：考虑能控状态空间模型将能控状态空间模型等价地转化为能控标准型如何从能控标准型模型的解导出一般模型的极点配置控制器。系统模型假定该状态空间模型是能控的，则存在线性变换其中对能控标准型和给定的极点，可得极点配置状态反馈增益矩阵即：问题：目前的增益矩阵用到变换后的状态。如何得到适合于原来模型的控制律呢？利用特征值的关系：定理对一个能控系统，可以通过状态反馈任意配置闭环系统极点。理论上可以证明：若一个系统可以通过状态反馈任意配置极点，那么它一定是能控的。5.3.3极点配置状态反馈控制器的设计算法给定系统模型和闭环极点1。检验系统的能控性；2。根据确定参数3。确定转化为能控标准型的变换矩阵4。确定期望特征多项式系数5。确定极点配置反馈增益矩阵例已知被控系统的传递函数是设计一个状态反馈控制器，使闭环极点是-2,-1±j解确定能控标准型实现状态反馈控制器闭环多项式：期望多项式：实现极点配置的条件：极点配置状态反馈控制器是分析：优点：能控标准型使得计算简单；缺点：能控标准型的状态难以直接测量；解决方法：考虑新的实现。串连分解状态空间实现是直接法反馈增益矩阵闭环特征多项式期望特征多项式比较后可得极点配置状态反馈控制器是变换法确定变换矩阵极点配置状态反馈增益矩阵直接法和变换法得到的结果是一致的。说明了惟一性。例对系统设计状态反馈控制器，使得闭环系统渐近稳定，且闭环系统的输出超调量，峰值时间系统的一个状态空间模型系统能控，故可以通过状态反馈任意配置极点。系统无开环零点，闭环系统性能完全由极点决定！一对主导极点：ζ和是二阶系统的阻尼比和无阻尼自振频率可得取则为保证主导极点，第3个极点选为期望特征多项式：原模型等价变换为能控标准型要求的状态反馈增益矩阵闭环系统：单位阶跃响应：峰值时间为0.4到0.5秒5.3.4爱克曼（Ackermann）公式极点配置状态状态反馈增益矩阵K的解析表达式闭环系统特征多项式：闭环矩阵满足问题：如何从以上的关系式来确定增益矩阵K？从关系式分别乘以，再相加可得由能控性，可得爱克曼公式：例对传递函数描述的二阶系统，确定一个状态反馈控制律，使得闭环极点位于解期望闭环多项式：对象的状态空间实现：能控性矩阵：爱克曼公式：关于极点配置问题：1。n个极点，以共轭对的形式出现；2。主导极点；3。考虑到零点的影响；4。系统响应速度并非越快越好；5。单输入系统，极点配置不影响零点分布；6。单输入能控系统，控制器惟一，多输入则不惟一；7。区域极点配置。不足：需要用到全部状态。5.3.5应用MATLAB求解极点配置问题提供了两个函数：acker:基于爱克曼公式，单输入系统，多重极点place:多输入系统，相同极点个数不超过B的秩对单输入系统，所得的K是一致的K=acker(A,B,J)K=place(A,B,J)检验：eig(A-B*K)极点配置的优点：可以改善系统的稳定性、动态性能5.4跟踪控制器设计极点配置的优点：改善系统的稳定性、动态性能那么，对稳态性能、静态误差等的影响？例已知被控对象的状态空间模型为设计状态反馈控制律，使得闭环极点为-4和-5，并讨论闭环系统的稳态性能。期望的闭环特征多项式是所要设计的状态反馈增益矩阵是相应的闭环系统状态矩阵闭环传递函数当参考输入为单位阶跃时，输出的稳态值开环系统是稳定的，且开环传递函数开环系统的稳态误差开环系统是无静差的。闭环系统的稳态输出因此闭环系统有稳态误差考虑系统参考输入外部扰动问题：在存在扰动下，使输出跟踪设定值。定义误差向量：引入偏差的积分：引入增广系统对增广系统设计状态反馈控制律使得闭环系统是稳定的求拉氏变换，得到参考输入和外部扰动都是阶跃信号时，由终值定理即x和q趋向于常值。从而趋于零。针对增广系统，设计状态反馈控制律，只要闭环系统渐近稳定，则系统无静态误差。若需要系统有一定的过渡过程特性，极点配置！要求：增广系统是能控性的。定理增广系统能控的充分必要条件是（1）原来系统是能控的（2）证明：其中由原系统的能控性⇒的行向量线性无关。必要条件：：输入的个数不能小于输出的个数：所有的测量输出都是独立的。跟踪外部参考输入的控制律是积分比例控制器针对前面的例子，再来设计一个状态反馈控制器，不仅使得闭环系统具有理想的过渡过程特性，而且还能无静差地跟踪阶跃参考输入。设计要求：保持原闭环极点－4，－5；增加的增广闭环系统极点－8。利用MATLAB可得K=[-17.666713.000053.3333]跟踪控制律单位阶跃响应：改善动态性能；消除静态误差。