第八讲 高考复习-函数的奇偶性与周期性

东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）第四节函数的奇偶性与周期性东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）最新考纲1.了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，并能利用函数的奇偶性解决一些问题．2．了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题．高考热点1.以选择题或填空题的形式考查奇偶性在求函数值或函数解析式中的应用．2．与函数的单调性相结合综合考查函数的有关性质.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）知识梳理1.要正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的式．2．奇偶函数的是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．必要不充分恒等定义东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）3．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反之亦真．因此，也可以利用函数图象的对称性去判断奇偶性．因此判断函数奇偶性的方法有：①定义法．②图象法．③性质法．4．(1)若f(x)是，则f(x)＝f(|x|)，反之亦真．(2)若f(x)为，且0∈定义域I，则f(0)＝0.(3)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)．偶函数奇函数既是奇函数又是偶函数东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）5．函数的周期性(1)如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝f(x)(或f(x＋)＝f(x－))，则称f(x)为周期函数．若f(x)的所有周期中存在一个，则称它为f(x)的最小正周期．(2)若f(x)的周期为T，则f(ωx)(ω＞0)的周期为.(3)周期函数的图象特征是函数图象重复出现，因此若函数f(x)是周期函数，研究其值域、最值、单调性等问题时，通常在一个周期长的区间上考虑，再推广到整个上．最小的正数定义域东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）判断函数的奇偶性：①定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要不充分条件；②判断函数的奇偶性，有时用定义的等价形式较定义更简便．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）题型一函数奇偶性的判断思维提示①判断定义域是否关于原点对称②判断f(x)与f(－x)之间的关系例1判断下列函数的奇偶性；(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝x＋1x；(3)f(x)＝x－2＋2－x；(4)f(x)＝1－x2＋x2－1；(5)f(x)＝(x－1)1＋x1－x.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[分析]先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)之间的关系．[解](1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为{x|x＞0}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）(4)此函数的定义域为{1，－1}，且f(x)＝0，可知图象既关于原点对称、又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．(5)由1＋x1－x≥0得－1≤x＜1，所以f(x)的定义域关于原点不对称，∴此函数为非奇非偶函数．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[规律总结](1)用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对称)→验证f(－x)＝±f(x)→下结论；(2)可以利用图象法或定义的等价命题f(－x)±f(x)＝0或f(－x)f(x)＝±1(f(x)≠0)来判断．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）备选例题1判断函数f(x)＝x2＋x(x＜0)－x2＋x(x＞0)的奇偶性．解：当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．综上可知，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）例2已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求f(0)的值；(2)证明：函数f(x)是周期函数；(3)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求x∈R时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象．题型二函数周期性的判定及应用思维提示f(x＋T)＝f(x)(T≠0)东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[分析]证明函数是周期函数，只需满足定义f(T＋x)＝f(x)(T≠0)即可．本题有两个条件，一是函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，二是函数关于x＝1对称，则f(2－x)＝f(x)，结合这两个条件证明．[解](1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，令x＝0，则f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，∴f(0)＝0.(2)函数f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)①又f(x)关于直线x＝1对称．∴f(x)＝f(2－x)②东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）由①②得，－f(－x)＝f(2－x)，换－x为x，则f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f[2＋(2＋x)]＝－f(2＋x)＝－[－f(x)]＝f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数．(3)∵f(x)＝x,0＜x≤1，∴当－1≤x＜0时，0＜－x≤1，∴f(－x)＝－x.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x，f(x)＝x，又f(0)＝0，当－1≤x≤1时，f(x)＝x，当1＜x≤3时，f(x)＝－x＋2，东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）∴f(x)＝x(－1≤x≤1)－x＋2(1＜x≤3)，又f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(x)＝x－4k(4k－1≤x≤4k＋1)－x＋2＋4k(4k＋1＜x≤4k＋3)(k∈Z)．图象为：东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[规律总结](1)周期函数问题在考题中常有两类表现形式：一类是研究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性．抽象函数的周期常常应用定义f(T＋x)＝f(x)给予证明，证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发，推导满足周期定义的等式，从而证明函数为周期函数的同时求出周期．(2)根据函数周期性，可求某区间上解析式，画出某区间上图象或求某一函数值.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）备选例题2已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12的所有x.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）解：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x≤1时，f(x)＝12x.设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12·(－x)＝－12x，即－f(x)＝－12x.∴f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1＜x＜3，则－1＜x－2＜1，∴f(x－2)＝12(x－2)．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）又知f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[2＋(－x)]＝－[－f(－x)]＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x－2)．∴f(x)＝－12(x－2)(1＜x＜3)，∴f(x)＝12x(－1≤x≤1)－12(x－2)(1＜x＜3).由上式知在[－1,3)上，仅有f(－1)＝－12，由f(x)是周期函数，得f(x)＝－12的所有x＝4n－1(n∈Z).东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）题型三函数周期性与奇偶性的综合问题思维提示①周期性定义②奇偶性定义例3(2010·唐山质检)设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足①f(x1－x2)＝f(x1)f(x2)＋1f(x2)－f(x1)；②存在正常数a，使f(a)＝1.求证：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[证明](1)不妨令x＝x1－x2，则f(－x)＝f(x2－x1)＝f(x2)f(x1)＋1f(x1)－f(x2)＝－f(x1)f(x2)＋1f(x2)－f(x1)＝－f(x1－x2)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)要证f(x＋4a)＝f(x)，可先计算f(x＋a)，f(x＋2a)．∵f(x＋a)＝f[x－(－a)]＝f(－a)f(x)＋1f(－a)－f(x)＝－f(a)f(x)＋1－f(a)－f(x)＝f(x)－1f(x)＋1(f(a)＝1)．∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝f(x＋a)－1f(x＋a)＋1东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）＝f(x)－1f(x)＋1－1f(x)－1f(x)＋1＋1＝－1f(x).∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－1f(x＋2a)＝f(x)．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[规律总结]数学解题的过程就是充分利用已知条件实施由条件向结论的转化过程，当条件不能直接推出结论时，就要想方设法创造使用条件的氛围，采用逐步逼近的手法达到解题目标.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）备选例题3(2010·合肥质检)设y＝f(x)是R上的偶函数且f(0)＝0，y＝g(x)是R上的奇函数，对于x∈R都有g(x)＝f(x＋1)，则f(2008)＝________.解析：由y＝g(x)是奇函数，得g(－x)＝－g(x)，即f(－x＋1)＝－f(x＋1)①，又y＝f(x)是偶函数，因此f(－x＋1)＝f(x－1)②.由①、②得，f(x－1)＝－f(x＋1)，f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，而2008＝4×502，因此f(2008)＝f(0)＝0.答案：0东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）题型四函数奇偶性和单调性的综合应用思维提示①奇、偶函数的定义和性质②单调性的定义例4已知函数f(x)＝1x－log21＋x1－x，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）有f(－x)＝－1x－log21－x1＋x＝－(1x－log21＋x1－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．任取x1，x2∈(0,1)，且x1＜x2.则f(x1)－f(x2)＝1x1－log21＋x11－x1－(1x2－log21＋x21－x2)＝(1x1－1x2)＋(log21＋x21－x2－log21＋x11－x1)．∵1x1－1x2＝x2－x1x1x2＞0，log21＋x21－x2－log21＋x11－x1＝log21－x1＋x2－x1x21＋x1－x2－x1x2.又(1－x1＋x2－x1x2)－(1＋x1－x2－x1x2)东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）＝2(x2－x1)＞0，∵1－x2＞0,1＋x1＞0，∴(1－x2)(1＋x1)＝1＋x1－x2－x1x2＞0.∴1－x1＋x2－x1x21＋x1－x2－x1x2＞1，得f(x1)－f(x2)＞0，即f(x)在(0,1)上单调递减．由于f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,0)上也是减函数．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[规律总结](1)将函数的奇偶性与单调性相结合，可知：①奇函数在(－b，－a)，(a，b)上有相同的单调性．②偶函数