2014高中数学 4-3-1、2 空间直角坐标系、空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2

4．3空间直角坐标系4．3.1空间直角坐标系4．3.2空间两点间的距离公式1．以点O为坐标原点，建立三条两两互相垂直的数轴轴、轴、轴，这时称建立了一个空间直角坐标系O－xyz.教材中所用的坐标系都是，其规则是：．2．数轴Ox上点M用实数x表示，直角坐标平面上的点M用一对有序实数表示，建立空间直角坐标系后，空间的点M可用有序实数组表示．右手直角坐标系让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，则中指能指向z轴正方向(x，y)(x，y，z)xyz3．空间内两点M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)，则|MN|＝4．在如图的正方体中，已标出了原点、x轴和z轴正向，请画出y轴正向．[答案]5．空间两点A(1,0，－1)、B(－2,0,0)之间的距离为.6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M与A与B的距离相等，则M的坐标是____________．[答案](0，－1,0)[解析]由题意可设M(0，y,0)，又|MA|＝|MB|，∴(0－1)2＋y2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，解得y＝－1.本节学习重点：空间直角坐标系的建立．本节学习难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标和由坐标确定点的位置．1．空间直角坐标系的建立(1)在数轴上，一个实数就能确定点的位置；在坐标平面上，一对有序实数(x，y)才能确定一点的位置；在空间确定一点的位置需要三个实数，如要确定一架飞机在空中的位置，我们不仅要指出地面上的经度、纬度，还需要指出飞机距地面的高度．如下图，OABC－D′A′B′C′是单位正方体，以O为原点，分别以射线OA、OC、OD′的方向为正方向，以线段OA、OC、OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两互相垂直，轴的方向通常按右手系选择．方法(一)：从z轴的正方向看，x轴正半轴沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合；方法(二)：让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴的正方向，则中指能指向z轴的正方向；方法(三)：伸开右手，让四指指向x轴正向，拇指指向z轴正方向，则四指自然弯曲90°就指向y轴的正向．(2)在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，常使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°.2．空间直角坐标系中，点的坐标的确定如下图，设M为空间一个定点，过M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P、Q、R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y、z.那么点M就对应唯一的有序数组(x，y，z)．记作M(x，y，z)．其中x，y，z也可称为点M的坐标分量．反之，任意三个实数的有序数组(x，y，z)，就能确定空间一个点的位置与之对应．我们可以在x轴、y轴、z轴上依次各取坐标为x、y、z的点P、Q、R，分别过P、Q、R各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x，y，z)确定的点M.一般地，确定点P(x，y，z)的位置的方法为：先在xOy平面内，找到点P1(x，y,0)(和平面直角坐标系找法一样)．从P1沿与z轴平行的直线，区分正负，找到点P(x，y，z)．与z轴正向相同为正，否则为负．这样，我们就在空间任意一点M与三个有序的实数组(点的坐标)之间，建立起一一对应的关系M↔(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，也叫点M的x坐标；y叫做点M的纵坐标，也叫点M的y坐标；z叫做点M的竖坐标，也叫点M的z坐标．xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y,0)的点构成的点集，其中x、y为任意实数；yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意实数；xOz平面(通过x轴和z轴平面)是坐标形如(x,0，z)的点所构成的点集，其中x，z为任意实数．x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如(0,0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数．坐标轴或坐标平面上的点的坐标特点是：“无谁谁为0”．3．三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．在每个卦限内，点的坐标各分量的符号是不变的．例如在第Ⅰ卦限内，三个坐标分量x，y，z都为正数；在第Ⅱ卦限内，x为负数，y、z为正数……4．空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2.特别地，P(x，y，z)到原点的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.[例1]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求E、F点的坐标．[解析]E点在xOy平面上的射影为B，B(1,1,0)，竖坐标为12.∴E(1,1，12)．F在xOy面上的射影为BD的中点G12，12，0，竖坐标为1.∴F(12，12，1)．已知点A在空间直角坐标系O－xyz中的坐标为(－2，4，－3)，试建立空间直角坐标系，画出该点的位置．[解析]先在x轴上找到表示－2的点，过该点作y轴的平行线，在y轴上找到表示4的点，过该点作x轴的平行线，两直线相交于P点，过P点作z轴的平行线，与z轴负方向同向的方向上截取3个单位，即得A点.[例2]已知V－ABCD为正四棱锥，O为底面中心，AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标．[解析]因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以O为原点，互相垂直的对角线AC、BD所在直线为x轴、y轴，OV为z轴建立如图所示坐标系．∵正方形ABCD边长AB＝2，∴AO＝OC＝OB＝OD＝2，又VO＝3∴A(0，－2，0)，B(2，0,0)，C(0，2，0)D(－2，0,0)，V(0,0,3)[点评]本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD的任一顶点为原点，交于这一顶点的两条边所在直线分别为x轴，y轴建系．如以A为顶点AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建系，等等．底半径为1，高为3的圆锥PO的轴截面PAB如图，C是侧棱PB的中点，建立适当坐标系，写出C点坐标．[解析]以O为原点，OB、OP为y轴、z轴正向建立空间直角坐标系O－xyz，则B(0,1,0)，P(0,0，3)，∴C0，12，32，[例3](1)已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形(2)点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于()A.14B.13C．23D.11[解析](1)|AB|＝(4－1)2＋(2＋2)2＋(3－11)2＝89，|BC|＝(6－4)2＋(－1－2)2＋(4－3)2＝14，|AC|＝(6－1)2＋(－1＋2)2＋(4－11)2＝75.∵|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．∴应选C.(2)B点坐标为(0,2,3)，∴|OB|＝02＋22＋32＝13.∴应选B.给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30，则点P坐标为________．[答案](9,0,0)或(－1,0,0)[解析]设P(x,0,0)，由题意，|P0P|＝30，即(x－4)2＋12＋22＝30，∴(x－4)2＝25.∴x＝9或x＝－1.∴P点坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．[例4]在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)，(2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)，(3)关于y轴的对称点是P(－x，y)，那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标：(1)关于原点的对称点是P1________；(2)关于横轴(x轴)的对称点是P2________；(3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3________；(4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4________；(5)关于xOy坐标平面的对称点是P5________；(6)关于yOz坐标平面的对称点是P6________；(7)关于zOx坐标平面的对称点是P7________.[解析](1)(－x，－y，－z)；(2)(x，－y，－z)；(3)(－x，y，－z)；(4)(－x，－y，z)；(5)(x，y，－z)；(6)(－x，y，z)；(7)(x，－y，z)．总结评述：记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余变相反”，如，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标面的对称点，则＝()[答案]A[解析]点A(2，－3,5)关于坐标平面xOy的对称点是B(2，－3，－5)，A．10B.10C.38D．38故|AB→|＝(2－2)2＋[－3－(－3)]2＋[5－(－5)]2＝10.|AB→|[例5]在平面直角坐标系xoy中，点(x1，y1)与点(x2，y2)的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22；类比可知，在空间直角坐标系o－xyz中，点P(x1，y1，z1)、Q(x2，y2，z2)的中点M的坐标为________．[解析]据空间点的坐标的确定方法，我们来确定M的横坐标：P、Q、M在xoy坐标平面上的射影为P1，Q1，M1，则∵PP1∥QQ1∥MM1，M为PQ中点，∴M1为P1Q1的中点．又P1、Q1、M1在x轴上射影为P2、Q2、M2，则∵P1P2∥Q1Q2∥M1M2，∴M2为P2Q2的中点．由空间点的坐标定义知，P2，Q2的横坐标分别为x1，x2，∴M2的横坐标为x1＋x22，从而点M的横坐标为x1＋x22.同理可求出点M的纵坐标、竖坐标，∴Mx1＋x22，y1＋y22，z1＋z22.已知A(1,2，－1)，C与A关于平面xOy对称，B与A关于x轴对称，则B，C两点间的距离和BC中点的坐标依次为________．[答案]4(1,0,1)[解析]由已知得C(1,2,1)，B(1，－2,1)，∴d(B，C)＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4，即B，C两点间的距离为4.BC的中点坐标为(1,0,1)．一、选择题1．点A(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．yOz平面上[答案]C2．点M(2，－3,1)关于坐标原点的对称点是()A．(－2,3，－1)B．(－2，－3，－1)C．(2，－3，－1)D．(－2,3,1)[答案]A3．点M(4，－3,5)到x轴的距离d＝()A.38B.34C.13D.29[答案]B4．已知空间两点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，则AB的长为()A.10B.14C．10D．14[答案]B二、填空题5．已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(－5,0,2)，则BC边上的中线长为________．[答案]7[解析]BC中点D的坐标为(－1,1，－2)中线AD的长为(2＋1)2＋(－1－1)2＋(4＋2)2＝7.