两角和、差的正余弦公式

3．1两角和与差的三角函数3．1.1两角和与差的余弦【课标要求】1．理解两角和与差的余弦及推导过程．2．掌握两角和与差的余弦公式，并能利用这些公式进行简单的三角恒等变换．【核心扫描】1．两角和与差的余弦公式．(重点)2．应用两角和与差的余弦公式进行三角化简、求值．(难点)自学导引两角和与差的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝.C(α－β)：cos(α－β)＝.试一试：cosα·cosβ－sinα·sinβcosα·cosβ＋sinα·sinβ如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4，试用|P1P3→|＝|P2P4→|证明两角和的余弦公式．提示由题图知P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．由|P1P3→|＝|P2P4→|，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.想一想：cos(α－β)与cosα－cosβ相等吗？提示cos(α－β)与cosα－cosβ一般不相等，cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ.名师点睛公式的特点(1)公式左端为两角和差的余弦，右端为两角的余弦之积与正弦之积的差和．(2)公式中的α、β为任意角，当α＝π时，公式变为cos(π－β)＝cosπcosβ＋sinπsinβ＝－cosβ，cos(π＋β)＝cosπcosβ－sinπsinβ＝－cosβ，即cos(π－β)＝－cosβ，cos(π＋β)＝－cosβ，此即为诱导公式，也就是说前面的一些诱导公式是它的特殊情况．(3)公式既可“正用”求一些角的三角函数值，也可“反用”化简一些式子．(4)公式的应用中应注意角的变换：如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β等；将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．题型一给角求值、化简【例1】求值：(1)sin285°；(2)sin460°·sin(－160°)＋cos560°·cos(－280°)．[思路探索]用特殊角的和或差表示已知角，用两角和与差的余弦公式求解．解(1)sin285°＝sin(270°＋15°)＝－cos15°＝－cos(60°－45°)＝－(cos60°·cos45°＋sin60°·sin45°)＝－6＋24.(2)原式＝－sin100°·sin160°＋cos200°·cos280°＝－sin100°·sin20°－cos20°·cos80°＝－(cos80°·cos20°＋sin80°·sin20°)＝－cos60°＝－12.规律方法(1)求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．【变式1】求下列三角函数式的值：(1)sinπ12；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；(3)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)．解(1)原式＝cosπ2－π12＝cos512π＝cosπ4＋π6＝cosπ4cosπ6－sinπ4sinπ6＝6－24.(2)原式＝cos(105°－15°)＝cos90°＝0.(3)原式＝cos[(α－45°)－(15°＋α)]＝cos(－60°)＝12.题型二已知三角函数值求值【例2】已知π2＜β＜α＜3π4，且cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos2α的值．[思路探索]用已知角表示要求角，用公式求解．解∵π2＜β＜α＜3π4，∴π＜α＋β＜3π2，0＜α－β＜π4，又∵cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，∴sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×－45－513×－35＝－3365.规律方法(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角．(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．【变式2】设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2.解∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2，sinα－β2＝1－－192＝459，cosα2－β＝1－232＝53，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527.题型三已知三角函数值求角【例3】已知锐角α、β满足sinα＝55，cosβ＝31010，求α＋β.审题指导本题考查了同角三角函数关系式，两角和的余弦公式以及由三角函数值确定角．【解题流程】[规范解答]∵α、β为锐角且sinα＝55，cosβ＝31010，∴cosα＝1－sin2α＝1－15＝255，(3分)sinβ＝1－cos2β＝1－910＝1010，(7分)∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22.(11分)由0＜α＜π2，0＜β＜π2，得0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＞0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4.(14分)【题后反思】(1)求一个角的值，应该先求其一种三角函数值，再根据这个角的范围确定该角的值，关于选择求哪种三角函数值，应根据已知条件和角的范围而定．(2)已知三角函数值求角的基本步骤是：①求角的某一种三角函数值；②确定角所在的范围；③根据角的范围写出所求角．【变式3】已知α、β为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β的值．解因为α、β为锐角，所以由sinα＝55，cosβ＝1010得到，cosα＝255，sinβ＝31010，且α＜β，即－π2＜α－β＜0.于是cos(α－β)＝255×1010＋55×31010＝22，故α－β＝－π4.误区警示忽视隐含条件不能确定角的范围而出错【示例】已知α、β、γ∈0，π2，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，求β－α的值．[错解]由已知得sinγ＝sinβ－sinα①cosγ＝cosα－cosβ②①2＋②2得：(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.∴－2sinαsinβ－2cosαcosβ＝－1∴cos(β－α)＝12，∴β－α＝±π3.由已知sinβ－sinα＝sinγ＞0.∵α、β、γ∈0，π2，∴β＞α，上述解答忽略了这一隐含条件而解错．[正解]由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.平方相加得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12，∴β－α＝±π3.∵sinγ＝sinβ－sinα＞0，∴β＞α，∴β－α＝π3.在给值求角问题中，要将所求角度的范围限制清楚，必要时，需结合题目中的关系式、条件缩小角的范围.