039旋转类几何变换(9页)

旋转类几何变换一几何变换——旋转旋转中的基本图形利用旋转思想构造辅助线（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化自检自查必考点二利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形（2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形三旋转变换前后具有以下性质：（1）对应线段相等，对应角相等（2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角．考点一旋转与最短路程☞考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。【例1】如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接AM、CM、EN．⑴求证：AMBENB≌⑵①当M点在何处时，AMCM的值最小；②当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；⑶当AMBMCM的最小值为31时，求正方形的边长．中考满分必做题ENMDCBA【例2】阅读下列材料对于任意的ABC，若三角形内或三角形上有一点P，若PAPBPC有最小值，则取到最小值时，点P为该三角形的费马点。①若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120，则满足条件120APBBPCAPC时，点P既为费马点解决问题：⑴如图，ABC中，三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连接CD、BE交于点P，证明：点P为ABC的费马点。(即证明120APBBPCAPC)且PAPBPCCDPEDCBAQABCDEP⑵如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QAQCQBPAPBPC⑶若30ABC，3AB，4BC，直接写出PAPBPC的最小值考点二利用旋转求点的坐标☞考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。【例3】正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90后，B点的坐标为（）A.(22)，B.(41)，C.(31)，D.(40)，【例4】如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A的坐标为(31)，，若将OAB绕点O逆时针旋转60后，B点到达'B点，则'B点的坐标是________DCBAOyxyxBAO考点三旋转与勾股定理☞考点说明：在等边三角形与正方形中，常见的一种题型，应重点掌握【例5】如图，P是等边ABC中的一个点，2,23,4PAPBPC，则ABC的边长是________【例6】如图，在ABC中，90ACB，ACBC，P是ABC内的一点，且123PBPCPA，，，求BPC的度数．【例7】如图点P是正方形ABCD内部一点，1PA2PB3PC，则APB=．考点四利用旋转的性质解决几何有关的计算☞考点说明：此类问题多以选择填空的形式出现，较为简单，有的时候也会再综合题中出现。【例8】如图，将ABC绕点A顺时针旋转45得到ADE，点E落在边BC上，则_______BED【例9】如图，将直径为4的半圆AB，绕点A逆时针旋转60，则阴影部分的面积为【例10】如图，将ABC绕点A逆时针旋转80得到ABC．若50BAC，则CAB的度数为()A．30B．40C．50D．80PCBAPBACABCDPEDCBAB'BAABCB'C'【例11】如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90后，得到矩形'''ABCD，如果22CDDA，那么'CC_________．【例12】把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，⑴如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为___________；⑵当CBD是等边三角形时，旋转角的度数是____________(为锐角时)；⑶如图②，设EF与BC交于点G，当EGCG时，求点G的坐标；考点五利用旋转的性质解决几何有关的证明☞考点说明：旋转有关的几何变换是中考的热点问题，同时也是中考试题中的重难点所在。【例13】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF∠，AHEF，H为垂足，求证：AHAB．【例14】已知ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF⑴如图1，当ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论。FEDCBAFEDCBA⑵如图2，当ABC中只有60ACB时，请你证明ABCS与ABDS的和等于BCES与ACFS的和D'C'B'DCBA图①EyxODCBAαGF图②EyxODCBAαCHFEDBA【例15】如图①，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC∥，将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，连结BD、CE，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使12DMBD，12ENCE，连结AM、AN、MN，得到图③，请解答下列问题：⑴若ABAC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，并证明你的猜想；⑵若ABkAC（1k），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．【例16】已知：在ABC中，ABAC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，BAEBDF，点M在线段DF上，ABEDBM．⑴如图1，当45ABC时，求证：2AEMD；⑵如图2，当60ABC时，则线段AE、MD之间的数量关系为________⑶在⑵的条件下，延长BM到P，使MPBM，连接CP，若7AB，27AE，求tanACP的值．DBCAE图①DBCA图②EDBCA图③EMNDBCA图④EMNMBACD（图1）（图2）EFMBACDEF【例17】⑴如图所示，在四边形ABCD中，ABAD，60BAD，120BCD，证明：BCDCAC.⑵如图所示，在四边形ABCD中，ABBC,60ABC，P为四边形ABCD内部一点，120APD，证明：PAPDPCBD.DCBAPDCBA【例18】如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．【例19】如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF＝0°或60°时，AM＋CK_______MK（填“＞”，“＜”或“＝”）．②如图4，当∠CDF＝30°时，AM＋CK_______MK（只填“＞”或“＜”）．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM＋CK_______MK，证明你所得到的结论．（3）如果MK2＋CK2＝AM2，请直接写出∠CDF的度数和AMMK的值．图1图2图3图8DBCAFEMK图1DBCA(F,K)EM图2DBCAFEK图3(M)【例20】在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点MND，，为ABC外一点，且60MDN，120BDC，BDCD，探究：当点MN，分别爱直线ABAC，上移动时，BMBNMN，，之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．图①MNDCBA图②MNDCBAN图③MDCBADBCAFEMK图4（1）如图①，当点MN，在边ABAC，上，且DMDN时，BMNCMN，，之间的数量关系式_________；此时QL__________（2）如图②，当点MN，在边ABAC，上，且DMDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点MN，分别在边ABCA，的延长线上时，若ANx，则Q_________(用xL，表示)【例21】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=12.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图