高中数学人教A版选修(2-2)1.1《变化率与导数》ppt课件

第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1变化率与导数有部分课件由于控制文件大小，内容不完整，请联系购买完整版课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引学习目标1.记住函数的平均变化率的概念,学会用符号语言刻画函数的平均变化率;2.知道函数的平均变化率的几何意义,会求函数的平均变化率;3.知道导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数;4.会通过函数图象直观地理解导数的几何意义.重点难点重点:导数的概念及其几何意义;难点:导数的概念.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引1.平均变化率(1)平均变化率的定义对于函数f(x),当自变量x从x1变到x2时,函数值从f(x1)变到f(x2),则称式子𝑓(𝑥2)-f(𝑥1)𝑥2-𝑥1为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.(2)符号表示习惯上,自变量的改变量用Δx表示,即Δx=x2-x1,函数值的改变量用Δy表示,即Δy=f(x2)-f(x1),于是平均变化率可以表示为Δ𝑦Δ𝑥.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引(3)平均变化率的几何意义如下图所示,函数f(x)的平均变化率的几何意义是直线AB的斜率.事实上,kAB=𝑦𝐴-𝑦𝐵𝑥𝐴-𝑥𝐵=𝑓(𝑥2)-f(𝑥1)𝑥2-𝑥1=Δ𝑦Δ𝑥.根据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流1思考:函数f(x)在区间(x1,x2)上的平均变化率可以等于0吗?若平均变化率等于0,是否说明f(x)在区间(x1,x2)上没有变化或一定为常数?提示:函数f(x)在区间(x1,x2)上的平均变化率可以等于0,这时f(x1)=f(x2);平均变化率等于0,不能说明f(x)在区间(x1,x2)上没有变化,也不能说明f(x)一定为常数,例如f(x)=x2-1在区间(-2,2)上.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引2.导数的概念(1)导数的定义一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0f(𝑥0+𝛥x)-f(𝑥0)𝛥x,称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数.(2)导数的符号表示用f'(x0)或y'|x=x0表示函数f(x)在x=x0处的导数,即f'(x0)=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0f(𝑥0+𝛥x)-f(𝑥0)𝛥x.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流2(1)思考:能否认为函数在x=x0处的导数值越大,其函数值变化就越大?提示:不能.导数的正、负号确定函数值变化的趋势,其绝对值的大小决定函数值变化的快慢,应该说导数的绝对值越大,函数值变化得越快.(2)做一做:求函数f(x)=2x2在x=-1处的导数.提示:①求f(x)在x=-1处函数值的改变量Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=2(Δx)2-4Δx;②求f(x)的平均变化率𝛥y𝛥x=2Δx-4;③求瞬时变化率即导数f'(-1)=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0(2Δx-4)=-4.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引3.导数的几何意义(1)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点x0处的切线的斜率,即f'(x0)=k=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0f(𝑥0+𝛥x)-f(𝑥0)𝛥x.(2)从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数.这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,称它为f(x)的导函数(简称为导数),y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0f(x+𝛥x)-f(x)𝛥x.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流3曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗?提示:不一定.曲线的切线与曲线可能有一个公共点,也可能有无数个公共点.如直线y=1与曲线y=sinx相切,它们有无数个公共点.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测一、函数平均变化率的计算活动与探究1.在平均变化率的计算公式中,Δx,Δy的范围是什么?提示:Δx为自变量的改变量,所以Δx≠0,可正、可负.Δy为函数值的改变量,所以Δy可正、可负、可为零,即Δy∈R.2.函数f(x)在区间(x1,x2)上的平均变化率的几何意义是什么?它的范围是什么?提示:函数f(x)在区间(x1,x2)上的平均变化率表示的是过(x1,f(x1))与(x2,f(x2))两点的直线的斜率,它可正、可负、可为零.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例1求函数f(x)=1x+2在区间(-1,0),(1,3),(4,4+Δx)上的平均变化率.思路分析:按照平均变化率的定义分三步求得平均变化率的值或表达式.解:f(x)=1x+2在区间(-1,0)上的平均变化率为𝛥y𝛥x=f(0)-f(-1)0-(-1)=12-11=-12;课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测f(x)=1x+2在区间(1,3)上的平均变化率为𝛥y𝛥x=f(3)-f(1)3-1=15-132=-115;f(x)=1x+2在区间(4,4+Δx)上的平均变化率为𝛥y𝛥x=f(4+𝛥x)-f(4)(4+𝛥x)-4=16+𝛥x-16𝛥x=-16(6+𝛥x).课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.已知函数y=f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则𝛥y𝛥x=()A.4B.4+2ΔxC.4+2(Δx)2D.4x答案:B解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2+1=2(Δx)2+4Δx,故𝛥y𝛥x=2Δx+4.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.已知f(x)=x2-3x+5,则函数f(x)从1到2的平均变化率是.答案:0解析:∵Δx=2-1=1,Δy=f(2)-f(1)=22-3×2+5-(12-3×1+5)=0,∴𝛥y𝛥x=0.∴函数f(x)从1到2的平均变化率为0.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测求函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的步骤:(1)求自变量的改变量:Δx=x2-x1;(2)求函数值的改变量:Δy=f(x2)-f(x1);(3)求平均变化率:𝛥y𝛥x=f(𝑥2)-f(𝑥1)𝑥2-𝑥1.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测二、瞬时速度活动与探究什么是瞬时速度?在跳水运动中,若瞬时速度为负,说明什么问题?提示:物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.说明此时运动员是下降的.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例2一辆汽车按规律s(t)=at2+1做直线运动,若汽车在t=2时的瞬时速度为12,求a.思路分析:先根据瞬时速度的求法得到汽车在t=2时的瞬时速度的表达式,再代入求出a的值.解:∵s=at2+1,∴s(2+Δt)=a(2+Δt)2+1=4a+4aΔt+a(Δt)2+1.于是Δs=s(2+Δt)-s(2)=4a+4aΔt+a(Δt)2+1-(4a+1)=4aΔt+a(Δt)2,∴𝛥s𝛥t=4a𝛥t+a(𝛥t)2𝛥t=4a+aΔt.因此𝑙𝑖𝑚𝛥t→0𝛥s𝛥t=𝑙𝑖𝑚𝛥t→0(4a+aΔt)=4a,依题意有4a=12,∴a=3.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么该物体在3秒末的瞬时速度是()A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒答案:C解析:s(3+Δt)=1-(3+Δt)+(3+Δt)2=(Δt)2+5Δt+7,所以s(3+Δt)-s(3)=(Δt)2+5Δt,故s(3+𝛥t)-s(3)𝛥t=Δt+5,于是物体在3秒末的瞬时速度为𝑙𝑖𝑚𝛥t→0𝛥s𝛥t=5(米/秒).课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则此物体在t=2时的瞬时速度是.答案:-1解析:∵Δs=3(2+Δt)-(2+Δt)2-(3×2-22)=3Δt-4Δt-(Δt)2=-Δt-(Δt)2,∴𝛥s𝛥t=-𝛥t-(𝛥t)2𝛥t=-1-Δt.∴v=𝑙𝑖𝑚𝛥t→0𝛥s𝛥t=𝑙𝑖𝑚𝛥t→0(-1-Δt)=-1.∴物体在t=2时的瞬时速度为-1.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测根据条件求瞬时速度的步骤:(1)探究非匀速直线运动的规律s=s(t);(2)由时间改变量Δt确定位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);(3)求平均速度v=𝛥s𝛥t;(4)运用逼近思想求瞬时速度:当Δt→0时,𝛥s𝛥t→v(常数).课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测三、利用导数的定义求导数活动与探究1.求函数在某点x0处导数的步骤.提示:(1)求函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求平均变化率𝛥y𝛥x;(3)取极限,得导数f'(x0)=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝛥y𝛥x.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.根据导数定义,若f'(x0)=3,则𝑙𝑖𝑚𝛥x→0f(𝑥0+2𝛥x)-f(𝑥0)𝛥x=.提示:由导数定义知,𝑙𝑖𝑚𝛥x→0f(𝑥0+2𝛥x)-f(𝑥0)2𝛥x=f'(x0),则𝑙𝑖𝑚𝛥x→0f(𝑥0+2𝛥x)-f(𝑥0)𝛥x=2𝑙𝑖𝑚𝛥x→0f(𝑥0+2𝛥x)-f(𝑥0)2𝛥x=2f'(x0)=6.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例3(1)求函数f(x)=1x+1在x=1处的导数;(2)求函数f(x)=2x的导数.思路分析:对于(1)可有两种方法:一是直接利用导数定义求解,二是先求出f'(x),再令x=1求得f'(x)的函数值即得导数值;对于(2)可按照导函数的定义直接求导数.解:(1)方法一:(导数定义法)∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=12+𝛥x−12=-𝛥x2(2+𝛥x),∴𝛥y𝛥x=-12(2+𝛥x).故f(x)在x=1处的导数f'(1)=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝛥y𝛥x=-14.课前预习导学KEQ