第五讲-状态空间H∞控制理论

2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇1第五章：状态空间H∞控制理论2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇2H∞∞控制的提出与发展控制的提出与发展1981：Zames利用H∞∞范数作为性能指标，提出最小灵敏度控制问题——H∞∞控制问题；1988：Zhou获得H∞∞控制问题的状态反馈控制解；1989：Doyle等发表著名的DGKF论文，获得H∞∞控制问题的输出反馈控制解——H∞∞控制理论形成。CCPPreyudγ+=∞WSPCS112011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇3状态空间H∞控制问题主要讨论三种形式：H∞状态反馈控制静态状态反馈增益矩阵的设计H∞输出反馈控制输出反馈补偿器的设计基于状态观测器的H∞状态反馈控制状态观测器的设计与静态状态反馈增益矩阵的设计2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇4H∞状态反馈控制问题121111200ABBGCDDI⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11122111()()()zw状态反馈控制：u=FxsCDFsIABFBD−Τ=+−−+控制问题控制问题：：寻找状态反馈增益矩阵F，使A+B2F稳定，而且(),zwTsγ∞次优问题min(),zwTs∞最优问题GGFFwzuy12xAxBwBu=++11112zCxDwDu=++yx=2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇5控制问题控制问题：：寻找动态输出反馈补偿器K，使闭环系统内部稳定，而且H∞输出反馈控制问题12xAxBwBu=++11112zCxDwDu=++22122yCxDwDu=++121111222122ABBGCDDCDD⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦控制器为输出反馈补偿器：kkAByξξ=+kkuCDyξ=+kkkkABKCD⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()(,)zwlTsFGK=(),zwTsγ∞次优问题min(),zwTs∞最优问题zwGGKKuy2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇6控制问题控制问题：：寻找状态观测器和状态反馈增益矩阵，使闭环控制系统内部稳定，而且基于观测器的H∞状态反馈控制问题(),zwTsγ∞次优问题min(),zwTs∞最优问题同维的状态观测器：12ˆˆˆAxByBu=++ˆx降维的状态观测器：ˆˆˆxCDyξ=+1ˆˆAByξξ=+2ˆBu+基于状态估计值的反馈控制：ˆuFx=zwGG状态观测器状态观测器uyFFH∞控制器K2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇7控制对象的假设条件(1)(A,B1)是可镇定的，(A,B2)是可镇定的；(2)rankD12=m2，即矩阵D12是列满秩的；22112,;AjIBranknmRCDωω−⎡⎤=+∀∈⎢⎥⎣⎦(4)(C1,A)是可检测的，(C2,A)是可检测的；(3)(5)rankD21=p2，即D21是行满秩的；(6)12221,;AjIBranknpRCDωω−⎡⎤=+∀∈⎢⎥⎣⎦(7)D22=0；(8)2120;mDI⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(9)2210pDI⎡⎤=⎣⎦。2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇8假设条件的说明条件(1)~(3)是H∞状态反馈控制问题必需的；条件(1)~(6)是H∞输出反馈控制问题和基于状态观测器的H∞状态反馈控制必需的；在条件(1)和(4)中是(A,B2)可镇定的和(C2,A)是可检测的，是保证闭环控制系统内部稳定的充分与必要条件；条件(2),(3),(5)和(6)是保证存在H∞最优控制器,使能够最小化，对于次优问题则未必是必要的。()zwTs∞2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇9假设条件(2),(3),(5),(6)的进一步说明11222222()()()()(),GsNsMsMsNs−−==22222222()()()()()()()()MsYsXsYsINsXsNsMs⎡⎤−⎡⎤=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦111122221()()()()()(),TsGsGsMsYsGs=+2122()()(),TsGsMs=3221()()()TsMsGs=条件(2),(3),(5),(6)分别与下述条件等价：22(1)rank();Tm∞=22(2)rank(),;TjmRωω=∀∈32(3)rank();Tp∞=32(4)rank(),R;Tjpωω=∀∈第(1)和第(3)种情况：T2(s)和T3(s)在无限远处没有零点第(2)和第(4)种情况：T2(s)和T3(s)在在虚轴上没有极点2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇10加性不确定性鲁棒镇定问题的条件当W1(s)=Im，W2(s)=Ip时，0()mpIGIPs⎡⎤=⎢⎥⎣⎦假设P(s)是严格真的，而且，则()ppppABPsCD⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0000ppmppABGICI⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)若(Ap,Bp)为可镇定的，则(A,B2)为可镇定的；(2)rankD12=rankIm=m，即D12是列满秩的；2112rankrankrank0pppmAjIBAjIBmAjInmICDωωω−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+−=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(3)(4)(Cp,Ap)为可检测的，则(C2,A)为可检测的；(5)rankD21=rankIp=p，即D21是行满秩的；(6)12210rankrankrankppppAjIAjIBpAjInpCICDωωω−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+−=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。的充分与必要条件是P(s)在虚轴上没有极点；2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇11假定条件的性质¾应该指出：在一般场合,如果公称对象在虚轴上具有极点和零点,则很难满足G的假设条件。¾为了保证存在最优的H∞的控制器K,使得w到z的闭环传递函数矩阵的H∞范数最小化。对于次优的H∞控制问题，条件(2)和(3)以及条件(5)和(6)未必是必要的。由假定条件由假定条件(2)(2)和和(3)(3)可得：可得：¾在包含ω=∞的所有ω处是列满秩的;¾rank对所有的ω是列满秩的。1121212()()GjCjIABDωω−=−+AjInCω−⎡⎤1=⎢⎥⎣⎦2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇12u若G21(jω)在所有的ω处是满秩的,则：外部输入w在所有频率ω处都影响输出y*min2121()()0GjGjλωω⎡⎤⎣⎦wG12(s)G21(s)K(s)G11(s)G22(s)zy假定条件的解释条件(2)意味着G12(s)在虚轴上没有零点。z=G11w+G12u[]max11min1212()()()()()()zjGjwjGjGjujωσωωλωωω∗⎡⎤+≥−⎣⎦若G12(jω)在所有的ω处是列满秩的,min1212()()0GjGjλωω∗⎡⎤⎣⎦此时则‖u(jω)‖2条件(5)意味着G21(s)在虚轴上没有零点:y=G21w+G22u‖z(jω)‖2有界min2121()()()()yjGjGjjωλωωωω∗⎡⎤≥−⎣⎦有界2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇13假定条件的等价变换22()zwzwTszw∗⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∗∗⎣⎦⎣⎦⎣⎦()zwTsγ∞∗⎡⎤⎢⎥∗∗⎣⎦()zwTsγ∞GKεεεεzz3z2w3w¾为了满足条件(1),必须使不能由w和u控制的部分是稳定的¾为了满足条件(2),可追加z2¾为了满足条件(3),可追加w3¾为了满足条件(4),要使不能由y测量的部分是稳定的¾为了满足条件(5),可追加w2¾为了满足条件(6),可追加z3uyw22011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇14不满足D22=0的情况寻找D22=0时对象的控制器,使闭环控制系统内部稳定，而且()Gs()Ks(,)lFGKγ∞122()()KsKIDK−=+D22D22()Gs()KswzuyK(s)u-+2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇15H∞状态反馈控制器的一般形式(1)¾对于rankD12=k≤p1，定义U和∑,使12,rankUrankkDU=∑==∑¾定义，满足，当k２＝m２时FΦTT0,FFFIΦ∑=ΦΦ=F0Φ=2T1T111111TT1T1T1()()()()FRIDIDDURUγ−−−−=+−Ξ=∑∑∑∑∑∑2T1T111111112T1T211111111212T1T211111111112T21111112T1T21111111112()()()()()FFFFFAABIDDDCBBBIDDDDCIDIDDDCDBIDDFIDIDDDDγγγγγ−−−−−=+−=+−⎡⎤=+−⎣⎦=−⎡⎤=+−⎣⎦¾定义2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇16H∞状态反馈控制器的一般形式(2)2T11110IDDγ−,而且(Ｈ∞状态反馈控制可解的充分必要条件是)()()TTTTT1TTTT0FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFABFCXXABFCXDDXXBBXXBBXCIFFCIεε−−Ξ+−Ξ+−Ξ−ΦΦ+−Ξ+=对于一个充分小的常数ε0具有正定解x0。TTT1()2FFFFFFFBXFGε=−ΦΦ+Ξ=Ξ使A+B2F稳定，而且()zwTsγ∞黎卡提方程1）2）此时，状态反馈增益矩阵为2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇17H∞状态反馈控制器的简单形式(1)假设：(A,B2)可稳定，而且[][]11T121200DDCDI==111221()()()zwTsCDFsIABFB−=+−−H∞状态反馈控制可解的充分必要条件：黎卡提方程对于一个充分小的常数ε＞０具有正定解Ｘ＞0.如果这样的ε和X存在，则状态反馈增益矩阵使A+B2F稳定，而且T2TTT1122110AXXAXBBXXBBXCCIγε−++−++=T2FBX=−()zwTsγ∞2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇18H∞状态反馈控制器的简单形式(2)假设：(A,B2)可镇定，而且111200DD==1121()()zwTsCsIABFB−=−−H∞状态反馈控制可解的充分必要条件：黎卡提方程对于一个充分小的常数e＞０具有正定解X＞0。如果这样的ε和X存在，则状态反馈增益矩阵使A+B2F稳定，而且T2TTT11221110AXXAXBBXXBBXCCIγεε−++−++=T212FBXε=−()zwTsγ∞2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇19H∞状态反馈控制器的简单形式(3)假设：(A,B2)可镇定，(C1,A)可检测，而且[][]11T121211120000DDCDIDD====H∞状态反馈控制可解的充分必要条件：¾哈密顿矩阵有¾黎卡提方程具有具有一个使稳定的半正定解X0。2TT1122TT11ABBBBHCCAγ−⎡⎤−=⎢⎥−−⎣⎦()()domRicRic0HH∈≥，T2TTT1122110AXXAXBBXXBBXCCγ−++−+=2TT1122ABBXBBXγ−+−2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇20H∞输出反馈控制的假定条件121111222122ABBGCDDCDD⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠¾(A,B1)是可镇定的,(C1,A)是可检测的;¾(A,B2)是可镇定的,(C2,A)是可检测的;¾¾¾D11=0,D22=0[][]T12120DCDI=1T21210BDDI⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2011年4月18日鲁棒控制理论及应用课程信息科学与工程学院何勇21假定条件说明及镇定控制器存在条件¾条件(2)是G为可镇定的充分必要条件¾条件(3),(4)是正交条件¾条件(5)是为了获得一种较为简单的形式的H∞输出