立体几何中求角的问题

立体几何中求角的问题一、学习目标1、掌握异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角的概念；2、会寻找异面直线所成的角，结构简单的直线与平面所成的角，二面角的平面角。3、会已知角求角问题中准确计算。二、知识梳理线线角与线面角1.异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_________________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：_____________．2.直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的__________，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，_______就是斜线AP与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈____________．二面角1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角___________．2.二面角的平面角如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则______________就叫做二面角α­l­β的平面角．3.二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈__________．4.当θ＝π2时，二面角叫做______________．三、问题自查1.异面直线所成的角概念清楚吗？你会寻找异面直线所成的角？（平移一线来构造异面直线所成角）如：正方体1111ABCDABCD中，E为AB的中点，则异面直线1DBEC与所成角的余弦值是（）3.3A5.5B10.10C15.15DABCDEA1B1C1D12.直线与平面所成的角的概念清楚吗？你会寻找直线与平面所成的角？基本方法：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．如：(1)、四面体P-ABC中，,PAABCABBC平面,如何确定过点A作面PBC的垂线的垂足?找出直线PB与平面ABC所成的角？PA与平面PBC所成的角?(2)、四面体P-ABC中，,PAABCABAC平面,如何确定过点A作面PBC的垂线的垂足?找出直线PB与平面ABC所成的角？PA与平面PBC所成的角?3.二面角的平面角的概念清楚吗？你会寻找二面角平面角？大致可归纳为以下几种类型：(1)根据平面角的定义找出二面角的平面角;(2)根据三垂线定理或者逆定理找出二面角的平面角;四、例题和变式考点1：求异面直线所成角（方法1、平移法；2、补全法；3、向量夹角法）例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°（I）证明AD⊥平面PAB；（II）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；ABDECABDECaABCblaABCblABDECABDECaABCblaABCbl（选题意图：训练学生掌握平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决。）变式1．【2017课标II，理10】已知直三棱柱111CC中，C120，2，1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（）A．32B．155C．105D．33（选题意图：通过将直三棱柱补成四棱柱1111ABCDABCD，再平移到相交求夹角。）方法归纳：1、平移一线来构造异面直线所成角求解步骤是：第一步：确定角的顶点，一般先从两条异面直线段的四个端点中的一个或几何体其他线的中点第二步：确定平移平面，往往以所做的角的顶点和欲平移直线所确定的平面为平移平面。（对于直棱柱，尤其是长方体、正方体内异面直线所成角的问题，可以采用补形的办法进行平移线段，这种方法既直观又便于计算）第三步：解三角形2、求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角范围为0，π2。当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．考点2：求线面角、二面角例2、（2015全国2卷19改）（本小题满分12分）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）作出直线AF与平面ABCD所成的角；并说明理由。（3）作出直线AF与平面α所成的角；并求出该线面角的大小。（选题意图：加强学生对角的概念理解，特别是直线与平面，二面角的平面角）DD1C1A1EFABCB1变式2、（2016年全国II高考）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．考点3：已知角求角例3.【2017课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABCE是PD的中点。（1）证明：直线//CE平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为o45，求二面角MABD的余弦值。变式3、（2016年四川高考）如图，在四棱锥PABCD中，//ADBC，90ADCPAB，ABCDACBDO5,6ABAC,EF,ADCD54AECFEFBDHDEFEF'DEF10ODDHABCDBDAC12BCCDAD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线//CM平面PBE，并说明理由；（II）若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.变式4、（2016年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，90AFD，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值．强化训练：1、（2016年上海高考）将边长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧。（1）求三棱锥111COAB的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小。【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r．确定1113．计算111S后即得.（2）设过点1的母线与下底面交于点，根据11//，知1C或其补角为直线1C与1所成的角．确定C3，C1．得出1C4．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r．由11的长为3，可知1113．111111111113sin24S，111111C13V312Sh．（2）设过点1的母线与下底面交于点，则11//，所以1C或其补角为直线1C与1所成的角．由C长为23，可知2C3，又1113，所以C3，从而C为等边三角形，得C1．因为1平面C，所以1C．在1C中，因为1C2，C1，11，所以1C4，从而直线1C与1所成的角的大小为4．2、（2016年天津高考）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG∥平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.23【解析】（Ⅰ）证明：找到中点，连结，∵矩形,∴∵、是中点，∴是的中位线∴且∵是正方形中心∴∴且∴四边形是平行四边形∴∵面∴面（Ⅱ）正弦值解：如图所示建立空间直角坐标系，，，设面的法向量ADIFIOBEFEFOB∥GIGIABD△GIBD∥12GIBDOABCD12OBBDEFGI∥EFGI=EFIGEGFI∥FIADFEG∥ADFOEFCOxyzIzyxABCDEFGHO020B，，200C，，022E，，002F，，CEF1nxyz，，1102020202220nEFxyzynCFxyzxz，，，，，，，，得：∴∵面，∴面的法向量（Ⅲ）∵∴设∴得：3、（2018全国卷2.20．）如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．201xyz1201n，，OCOEFOEF2100n，，12121226cos331nnnnnn，21263sin133nn，23AHHF2222420205555AHAF，，，，Hxyz，，2242055AHxyz，，，，325045xyz324255BH，，12164755cos212235BHnBHnBHn，3.(12分)解：（1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且23OP.连结OB.因为22ABBCAC，所以ABC△为等腰直角三角形，且OBAC，122OBAC.由222OPOBPB知POOB.由,OPOBOPAC知PO平面ABC.（2）如图，以O为坐标原点，OBuuur的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),OBACPAPuuur取平面PAC的法向量(2,0,0)OBuuur.设(,2,0)(02)Maaa，则(,4,0)AMaauuur.设平面PAM的法向量为(,,)xyzn.PAOCBM由0,0APAMuuuruuurnn得2230(4)0yzaxay，可取(3(4),3,)aaan，所以22223(4)cos,23(4)3aOBaaauuurn.由已知得3|cos,|2OBuuurn.所以22223|4|3=223(4)3aaaa.解得4a（舍去），43a.所以83434(,,)333n.又(0,2,23)PCuuur，所以3cos,4PCuuurn.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.答案：例1.例2（2）过F作11,,,,FPDCABCDDCFPABCDAP平面DCCD平面于平面连接FAP直线AF与平面ABCD所成的角;（3）过A作11,,,,AQEHABBAEHAQFQ平面平面于平面连接FAP直线AF与平面ABCD所成的角;AFQ直线AF与平面α所成的角.变式2：【解析】⑴证明：∵54AECF，∴AECFADCD，∴EFAC∥．∵四边形ABCD为菱形，∴ACBD，∴EFBD，∴EFDH，∴EFDH．∵6AC，∴3AO；又5AB，AOOB，∴4OB，∴1AEOHODAO，∴3DHDH，∴222'ODOHDH，∴'DHOH．又∵OHEFHI，∴'DH面ABCD．⑵建立如图坐标系Hxyz．500B，，，130C，，，'003D，，，130A，，，0,3,4AB，