第一讲空间几何和结构特征以及三视图和直观图讲解

一、空间几何体的结构特征：1、棱柱：上下底面是全等的多边形；侧棱都平行且相等，直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱正棱柱：底面为正多边形的直棱柱平行六面体：底面为平行四边形的四棱柱多面体)(;为体高；侧hShVChS判断：（1）直四棱柱是直平行六面体（2）正四棱柱是正方体（3）长方体是正四棱柱2、棱锥：底面任意多边形；侧面都是有一个公共点的三角形正棱锥：底面正多边形；顶点在底面射影为底面中心的棱锥正四面体：各条棱都相等的正三棱锥)(;21''为斜高侧hChS)(3为体高；hShVABCSFE四边形结论所有棱长都相等的空间1设棱长为ABCFAB,SF1）（SCFAB面SCAB对棱垂直角的平面角为侧面与底面所成二面）（SFC231cosSFC本题可得23CFSF22EFABCDOS，设正棱锥所有棱长为aaSD23aOD63则12ODAO中心为ABCOaSO332体高3、棱台：由平行与棱锥的底面的平面截得图形；上下底面是相似的多边形正棱台：上下底面是相似的正多边形的棱台)(;21'''为斜高）（侧hhCCS)()(3''为体高；hSSSShV4、圆柱：由矩形绕其任一边旋转得到。与轴平行的截面和轴截面都是矩形5、圆锥：由由直角三角形绕其任一直角边旋转得到。轴截面是等腰三角形；展开图为扇形旋转体RhS2侧hRShV2)(;为母线长侧lRlS3332222RlRhRShV6、圆台：由平行与圆锥底面的截面截圆锥所得。也可以由直角梯形绕直角边或等腰梯形绕上下底面中心连线旋转得到。轴截面是等腰梯形7、球：由圆或半圆绕直径旋转得到。截面都是圆；过球心的圆最大叫球大圆即时（1）)(;)(为母线长侧llrRS)(3)(322''RrrRhSSSShVO'OABC2'2'',2OOAOAORoo332'AOABC中有R}外心为ABCO'34;432RVRS二、三视图：三视图是用正投影得到；并且与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小完全相同。三视图分为：正视图、侧视图、俯视图（1）正俯一样长；俯侧一样宽；正侧一样高（2）摆放位置（3）看不到的线划成虚线注意各棱长都为2的正三棱锥的三视图如图所示：22222332332h体高三、斜二测画法：xoyACB1轴轴长度不变平行于平行于轴轴长度减半平行于平行于轴轴长度不变平行于平行于'''zzyyxx倍积的直观图面积是原图形面42'xo'y'A'C'B12145空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区别？提示：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形.1.三视图如图的几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，且其中一条棱与底面垂直.答案：B2.如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是()解析：侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排除，而正视时，应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示.答案：B3.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误.如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥.B错误.如图(2)、(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.C错误.若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.D正确.答案：D4.如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由块木块堆成.解析：由三视图知，由4块木块组成.答案：45.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形的形状是.解析：将直观图还原得▱OABC，则∵O′D′＝O′C′＝2cm，OD＝2O′D′＝4cm，C′D′＝O′C′＝2cm，∴CD＝2cm，OC＝OA＝O′A′＝6cm＝OC，故原图形为菱形.答案：菱形=2cm,1.几种特殊的四棱柱平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，要特别注意.(1)直四棱柱不一定是直平行六面体.(2)正四棱柱不一定是正方体.(3)长方体不一定是正四棱柱.2.几种常见的多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件②.(写出你认为正确的两个充要条件)利用类比推理中“线与面”类比.再进行验证其正确性.【解】①两组相对侧面分别平行②一组相对侧面平行且全等③对角线交于一点且互相平分④底面是平行四边形.任选两个即可.1.设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.以上四个命题中，真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体.命题②不是真命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体.命题③也不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直.命题④是真命题，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体.答案：A1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.2.由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则.【注意】严格按排列规则放置三视图.并用虚线标出长宽高的关系.有利于准确把握几何体的结构特征.3.对于简单几何体的组合体，在画其三视图时，首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画出其三视图.(2009·福建高考)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()(1)利用体积与几何体的高先计算出底面积再进行判断；(2)排除法.【解析】法一：∵体积为，而高为1，故底面积为，选C.法二：选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除A；而选项B、D所得几何体的体积都与π有关，排除B、D；易知选项C符合.【答案】C2.(2009·广州模拟)如图所示的图形是由若干个小正方体所叠成的几何体的侧视图与俯视图，其中俯视图的小正方形中的数字表示该几何体在同一位置上叠放的小正方体的个数，则这个几何体的正视图是()解析：从俯视图可看出，该几何体从右到左能分别看到3、2、1块小正方体.答案：A1.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′=2.对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.(2010·扬州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()根据斜二测画法规则去判断.【解析】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.【答案】A3.本例中的条件不变，求原平面图形的面积.解：由该例解法知，原平面图形是边长为1，高为2的平行四边形，∴面积S＝1×2＝2.三视图是新课标中新增加的内容，对考生要求较低，一般不会直接考查作图，但经常会与立体几何中有关的计算问题融合在一起，如面积、体积的计算，从而考查考生的空间想象能力，因此要对常见的几何体的三视图有所理解，并能够进行识别和判断.2009年山东卷巧妙地利用组合考查了由三视图还原几何体及体段的计算.(2009·山东高考)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2D.4C.2B.4[解析]由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为[答案]C22211(2)33223.3V求组合体的体积关键是认清它的基本结构，分别求解，同学们思考一下，若将本题中的俯视图改为如图形式，其体积又是多少？