《1.1.1任意角》课件

第1章三角函数1．1任意角、弧度《1.1.1任意角》课件．了解正角、负角、零角和象限角的概念，理解任意角的概念．2．掌握终边相同的角的表示方法．3．能够判断任意角所在的象限学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接一、任意角1．任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．射线的起始位置是角的________，射线的终止位置是角的________，射线的端点是角的________．2．正角、零角、负角概念：按旋转方向，角可以分为以下三类：(1)________——按________方向旋转所形成的角；(2)零角——射线________作任何旋转形成的角；(3)________——按________方向旋转所形成的角．始边终边顶点正角逆时针没有负角顺时针学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接二、象限角和轴线角1．象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做________的角．2．轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，如果角的终边落在______上，就把这个角叫做轴线角．第几象限坐标轴学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接三、终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合为________________________．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．{}β|β＝α＋k·360°，k∈Z学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接零角、正角、负角的概念正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯使然，就好像正数、负数的规定一样．零角无正负，就好像数零无正负一样．学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接知识点2象限角的概念判断一个角在哪个象限时，必须使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合为前提，再看终边在第几象限，否则，就不能加以判断说明．轴线角不属于任何象限，如0°，90°，270°，360°，－90°，－180°，－270°，－360°等都是轴线角．学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接知识点3终边相同的角的表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一个集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和．学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接分别求出时钟的分针经过下列时间所转的角的度数：(1)12分；(2)3小时20分．分析：时钟的分针1小时顺时针旋转一周，即旋转－360°，故1分钟分针所旋转的角度是－360°60＝－6°.学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接解析：(1)经过12分钟分针所转的角度是－6°×12＝－72°；(2)经过3小时20分钟分针所转的角度是－6°×200＝－1200°.方法指导：计算时针或分针旋转的角度时，关键要弄清两个方面的问题：其一，时针的旋转方向为顺时针，故其角度为负值；其二，每小时中时针和分针各转了不同的角度．另外，当将时针拨慢时，则为按逆时针方向旋转，这一点值得注意．学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接．要将时钟拨慢5分钟，则分针转了________度．时针转了________度．变式训练解析：将时钟拨慢了5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的是正角．分针转过的角度是：560×360°＝30°，时针转过的角度是：560×30°＝2.5°.答案：302.5学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接题型2终边相同的角例2写出与下列各角终边相同的角的集合S：(1)30°；(2)90°；(3)180°；(4)270°；(5)0°或180°.分析：利用终边相同的角的定义求解．解析：(1)S＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；(2)S＝{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}；(3)S＝{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}；学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接(4)S＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}；(5)S＝{α|α＝k·360°或α＝180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°，k∈Z}．◎规律总结：终边相同的角的概念是本节课中最重要的概念，它对定义任意角的三角函数、化简和计算任意角的三角函数值等都有着重要作用．学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接．写出终边在y轴上的角的集合．变式训练分析：可先分别写出终边与y轴正、负半轴重合时的角的集合，再求这两个角的集合的并集．解析：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角．因此，所有与90°角终边相同的角构成集合：S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}．学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接°角终边相同的角构成集合：S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}．于是，终边在y轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋k·180°，k∈Z}．变式训练学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接题型3象限角、轴线角例3已知角α是第二象限角，则角2α，α2分别是第几象限角？分析：根据象限角的定义结合不等式知识求解．解析：因为α是第二象限角，则k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z，∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的非正半轴上的角．k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，∴k·180°＋45°＜α2＜k·180°＋90°，k∈Z，学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接为偶数时，令k＝2n，n∈Z，则n·360°＋45°＜α2＜n·360°＋90°，α2为第一象限角，当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则n·360°＋225°＜α2＜n·360°＋270°，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接方法指导：谨防出现这样的错误：由α是第二象限角，仅想到90°＜α＜180°，从而得到45°＜α2＜90°，仅得到α2为第一象限角，而将α2是第三象限角的可能性丢掉．熟悉下列事实，对我们解答有关问题大有好处．(1)当α为第一象限角时，α2为第一、第三象限角的前半区域．学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接(2)当α为第二象限角时，α2为第一、第三象限角的后半区域．(3)当α为第三象限角时，α2为第二、第四象限角的前半区域．(4)当α为第四象限角时，α2为第二、第四象限角的后半区域．学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：运用不等式的知识或对称方面的知识求解．方法一∵α为第四象限角，∴2k·180°－90°＜α＜2k·180°(k∈Z)，∴－2k·180°＜－α＜－2k·180°＋90°(k∈Z)，∴－2k·180°＋180°＜180°－α＜－2k·180°＋270°(k∈Z)，∴180°－α是第三象限角．学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接方法二∵α与－α的终边关于x轴对称，又因为α的终边在第四象限，∴－α的终边在第一象限，又－α与180°－α的终边关于原点对称，∴180°－α的终边在第三象限．答案：C学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接◎规律总结：此题主要考查象限角及有关象限角的范围，同时也考查了不等式的基本性质．象限角和象限角的范围是数学中重要的基础知识，应好好掌握．对称问题、对称的思想和方法是高中数学的重要内容，历届高考试题多次出现，是考查的热点问题，在学习过程中不仅要掌握对称的有关规律，同时还要注意运用对称的思想和方法去解决问题．学习目标自主学习要点讲解典例剖析栏目链接．已知α为第三象限的角，则α2所在的象限是()A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限解析：由k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z，得k·180°＋90°＜α2＜k·180°＋135°，k∈Z.对k分奇、偶数讨论：当k＝2n，n∈Z时，α2为第二象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，α2为第四象限角．答案：D