高三数学 (知识梳理 典例讲解 习题自测)《用样本估计总体》课件

10．2用样本估计总体考纲点击1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.1.考点梳理一、频率分布直方图1．通常我们对总体作出的估计一般分成两种．一种是用样本的①____________估计总体的分布．另一种是用样本的②__________估计总体的数字特征．2．在频率分布直方图中，纵轴表示③__________，数据落在各小组内的频率用各小长方形的④______表示．各小长方形的面积总和⑤__________.2.3．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着⑥__________的增加，作图时所分的⑦__________增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为⑧____________，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的⑨________.4．当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．3.二、用样本的数字特征估计总体的数字特征1．众数，中位数，平均数(1)众数：在一组数据中，出现次数⑩______的数据叫做这组数据的众数．(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在⑪______位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的⑫______.(3)平均数：样本数据的算术平均数．即x＝⑬____________________.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该⑭__________.4.2．样本方差，标准差标准差s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2]，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，x是⑮__________.标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量⑯______总体容量时，样本方差越接近总体方差．5.答案：①频率分布②数字特征③频率组距④面积⑤等于1⑥样本容量⑦组数⑧总体密度曲线⑨百分比⑩最多⑪最中间⑫中位数⑬1n(x1＋x2＋…＋xn)⑭相等⑮平均数⑯接近6.考点自测1.已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13,0.15,0.14，0.17，0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是()A．0.14,0.15B．0.15,0.14C．0.15,0.15D．0.15,0.145解析：把样本中的数据按从小到大排列为：0．12,0.13,0.13,0.14,0.14,0.15,0.15,0.15,0.16,0.17，∴该样本的众数是0.15，中位数字0.14＋0.152＝0.145.答案：D7.2．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，那么该样本的标准差为()A．1B.2C.3D．2解析：∵样本容量n＝5，∴x＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3.∴s＝15[1－32＋2－32＋3－32＋4－32＋5－32]＝154＋1＋0＋1＋4＝2.答案：B8.3．(2013·潍坊模拟)甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如下图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别X甲、X乙，则下列结论正确的是()A.X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定B．X甲＞X乙；甲比乙成绩稳定C．X甲＞X乙；乙比甲成绩稳定D．X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定9.解析：∵X甲＝72＋77＋78＋86＋925＝81，X乙＝78＋82＋88＋91＋955＝86.8，∴X甲＜X乙且乙比甲成绩稳定.答案：A10.4．一个容量为32的样本，分成5组，已知第三组的频率为0.375，则另外四组的频数之和为__________．解析：由题意，得第三组的频数为32×0.375＝12.∴另四组的频数之和为32－12＝20.答案：2011.5．为了了解某地区高三学生身体发育情况，抽查了该地区100名年龄在17.5岁～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图所示．则样本数据落在[62.5,64.5)内的频率是__________．这100名学生的体重的众数是__________．12.解析：在频率分布直方图中，频率等于矩形的面积，而众数是最高矩形中点的横坐标．样本数据落在[62.5,64.5)内的频率为0.07×2＝0.14.众数为64.5＋66.52＝65.5.答案：0.1465.513.疑点清源1.作频率分布直方图的步骤：(1)求极差；(2)确定组距和组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．14.2．对标准差与方差的理解标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.15.题型探究题型一频率分布直方图例1为了解某校初中毕业男生的体能状况，从该校初中毕业班学生中抽取若干名男生进行铅球测试，把所得数据(精确到0.1m)进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如下图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.16.(1)请将频率分布直方图补充完整．(2)该校参加这次铅球测试的男生有多少人？(3)若成绩在8.0m以上(含8.0m)的为合格，试求这次铅球测试的成绩的合格率．17.解析：(1)由频率分布直方图的意义可知，各小组频率之和为1，故第6小组的频率为：1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，易知第6小组与第3小组的频率相等，故两个小长方形等高，图略．(2)由(1)知，第6小组的频率是0.14.又因为第6小组的频数是7，现设参加这次测试的男生有x人，根据频率定义，得7x＝0.14，即x＝50.(3)由图可知，第4、5、6小组成绩在8.0m以上(含8.0m)，其频率之和为：0.28＋0.30＋0.14＝0.72，故合格率为72%.18.点评：解决该类问题时应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键．频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占的比例的大小，一般用频率分布直方图反映样本的频率分布．频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比．19.变式探究1为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()A．64B．54C．48D．2720.解析：前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.∵后五组频数和为62，∴前三组为38.∴第三组为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100＝32.∴a＝22＋32＝54.答案：B21.题型二茎叶图例2某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲的得分：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50；乙的得分：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.(1)画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图；(2)根据茎叶图分析甲、乙两运动员的水平．22.解析：(1)作出茎叶图如图所示．(2)由上面的茎叶图可以看出．甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是26.因此甲运动员的发挥比较稳定，总体得分情况比乙运动员好．23.点评：当数据较少时，用茎叶图分析问题的突出优点是：①保留原始信息；②随时记录．用茎叶图分析数据可以运用数据分布的对称情况，集中分散情况来分析总体情况．24.变式探究2在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.在某报纸的一篇文章中，每个句子中所含的字的个数如下：27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.(1)将这两组数据用茎叶图表示；(2)将这两组数据进行比较分析，得到什么结论？25.解析：(1)如图所示.(2)电脑杂志上每个句子的字数集中在10～30之间，中位数为22.5；而报纸上每个句子的字数集中在20～40之间，中位数为27.5.还可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数少，说明电脑杂志作为科普读物通俗易懂、简明.26.题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征例3为了解A，B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1000km)轮胎A96,112,97,108,100,103,86,98轮胎B108,101,94,105,96,93,97,106(1)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数；(2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；(3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？27.解析：(1)A轮胎行驶的最远里程的平均数为：96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋988＝100，中位数为：100＋988＝99；B轮胎行驶的最远里程的平均数为：108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋1068＝100，中位数为：101＋972＝99.28.(2)A轮胎行驶的最远里程的极差为：112－86＝26，标准差为：s＝42＋122＋32＋82＋0＋32＋142＋228＝2212≈7.43；B轮胎行驶的最远里程的极差为：108－93＝15，标准差为：s＝82＋12＋62＋52＋42＋72＋32＋628＝1182≈5.43.29.(3)由于A和B的最远行驶里程的平均数相同，而B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B轮胎性能更加稳定．30.点评：平均数、中位数、众数、极差、方差等统计量是将多个数据“加工”成一个数据，能更清楚地反映这组数据的某些重要特征，要理解这些统计量表达的信息．31.变式探究3已知母鸡产蛋的最佳温度在10℃左右，下面是在甲、乙两地六个时间测得的温度，你认为甲、乙两地哪地更适合母鸡产蛋？时刻(时)4812162024甲(℃)－571514－4－3乙(℃)141072032.解析：(1)x甲＝16×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4，x乙＝16×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4.(2)极差：甲地温度极差＝15－(－5)＝20；乙地温度极差＝10－0＝10.(3)标准差：s甲＝16×[－5－42＋…＋－4－42＋－3－42]≈8.4；s乙＝16×[1－42＋…＋2－42＋0－42]≈3.5.33.(4)方差s2甲≈70.7，s2乙≈12.3.显然两地的平均温度相等，乙地温度的极差、标准差、方差较小，说明了乙地温度波动较小，因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋.34.归纳总结•方法与技巧1．用样本频率分布来估计总体分布的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．2．若取值x1，x2，……，xn的频率分别为p1，p2，……，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，……，xn的平均数为x，方差