第6节洛伦兹力的应用习题课

洛伦兹力的应用—习题课西樵高级中学方红德整理1）圆周运动的半径mvRqB2）圆周运动的周期2mTqB2vqvBmR2RTv2tT3）在磁场中运动的时间一、常用公式2tT解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的基本思路是找圆心、算半径、画轨迹、求时间。1．找圆心带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键。圆心一定在与速度方向垂直的直线上。2．算半径画出入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形，求出半径的大小。二、基本思路在实际问题中，圆心位置的确定极为重要，通常有两个方法：(1)如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点，已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心O。(2)如图乙所示，图中P为入射点，M为出射点，已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心O。确定下列圆心(1)v(2)vv(3)ABABA3．圆心角和运动时间的确定φ=α=2θ2360tTT1.如图所示，匀强磁场磁感应强度为B＝0.2T，方向垂直纸面向里．在磁场中的P点引入一个质量为m=2.0×10-8kg、带电荷量为q＝5×10-6C的正粒子，以v＝10m/s的速度垂直于磁场方向开始运动，运动方向如图所示，不计粒子重力，磁场范围足够大．(1)请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹．(2)粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大？三、常见题例2.如图所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁场方向(磁感应强度为B)并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°.求电子的质量和穿越磁场的时间．解析过M、N作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，连结ON，过N作OM的垂线，垂足为P，如图所示．由直角三角形OPN知，电子的轨迹半径r＝dsin60°＝233d①由圆周运动知evB＝mv2r②解①②得m＝23dBe3v.电子在无界磁场中运动周期为T＝2πeB·23dBe3v＝43πd3v.电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝60°，故电子在磁场中的运动时间为t＝16T＝16×43πd3v＝23πd9v.θ3.电子质量为m电荷量为q,以速度v0与x轴成θ角射入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后落在x轴上的P点，如图所示，求:（1）的op长度;（2）电子由O点射入到落在P点所需的时间t.【解析】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，应根据已知条件首先确定圆心的位置，画出运动轨迹.所求距离应和半径R相联系，所求时间应和粒子转动的圆心角θ、周期T相联系.(1)过O点和P点作速度方向的垂线，两线交点C即为电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，如图所示，则可知=2R·sinθ①Bqv0=②由①②式可解得:(2)答案：(1)(2)OP20vmR02mvOP=sinBq02mvsinBq2mBq2θ2θ2πm2θmt=T==2π2πqbqB4.如图所示，一带电荷量为2.0×10-9C,质量为1.8×10-16kg的粒子，在直线上一点O沿30°方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10-5S后到达直线上另一点P.求：(1)粒子做圆周运动的周期．(2)磁感应强度B的大小．(3)若OP之间的距离为0.1m，则粒子的运动速度多大？【解析】粒子做匀速圆周运动，其轨迹如图所示．由几何关系可知OP弦的圆心夹角θ＝60°.粒子从O点出发经历大圆弧到达P点的时间已知，大圆弧所对圆心角为300°，则可求粒子运动周期．由周期公式可求磁感应强度B，已知OP的长度可求半径R，进而求粒子运动速度．m/s109)3(10)2(108.1)1(66TS5.如图所示，在x轴上方有匀强磁场B，一个质量为m，带电量为-q的的粒子，以速度v从O点射入磁场，角θ已知，粒子重力不计，求(1)粒子在磁场中的运动时间.(2)粒子离开磁场的位置.6.一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。yxoBvvaO/aqmvBBqmvar23,32得(0,3)a射出点的坐标为7．如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是()．A.3v2aB，正电荷B.v2aB，正电荷C.3v2aB，负电荷D.v2aB，负电荷解析从“粒子穿过y轴正半轴后……”可知粒子向右侧偏转，洛伦兹力指向运动方向的右侧，由左手定则可判定粒子带负电荷，作出粒子运动轨迹示意图如图所示．根据几何关系有r＋rsin30°＝a，再结合半径表达式r＝mvqB可得qm＝3v2aB，故C正确．8.如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电荷量大小为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。[思路]确定粒子的电性→判定洛伦兹力的方向→画运动轨迹→确定圆心、半径、圆心角→确定运动时间及离开磁场的位置。[解析]当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC，对粒子，由于洛伦兹力提供向心力，则qv0B＝mv20R，R＝mv0qB，T＝2πmqB故粒子在磁场中的运动时间t1＝240°360°T＝4πm3qB粒子在C点离开磁场OC＝2R·sin60°＝3mv0qB故离开磁场的位置为(－3mv0qB，0)当带电粒子带负电时，轨迹如图中ODE所示，同理求得粒子在磁场中的运动时间t2＝120°360°T＝2πm3qB离开磁场时的位置为(3mv0qB，0)[答案]4πm3qB(－3mv0qB，0)或2πm3qB(3mv0qB，0)9．如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负离子(质量相同)以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负离子在磁场中运动时间之比为()A．1∶2B．2∶1C．1∶3D．1∶1解析：作出轨迹，找出轨迹所对圆心角是解题的关键，如图所示。t1＝16T＝13·πmqB，t2＝13T＝13·2πmqB，所以t2∶t1＝2∶1，即B选项正确。答案：B10.如右图所示，正、负电子以相同的速度v0垂直磁场方向在O点沿与边界成θ＝30°角的方向射入只有下边界的匀强磁场中，则正、负电子射出点到射入点的距离之比为()A．1∶1B．1∶2C．1∶5D．1∶6解得圆轨道的半径：由于正负电子的荷质比相同，故它们的半径相同．由几何关系知，两个圆的圆心角也相等，都为60°，三角形COB与C′OA全等，故有答案：A解析：由洛伦兹力公式和牛顿定律可得：20vevBmR0mvReB0mvReB11.如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？MNBOvBemvs2答案为射出点相距Bqmt34时间差为关键是找圆心、找半径和用对称。12.如右图所示，在y0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带电荷量和质量之比为q/m的正电粒子以速度v0从O点与x轴正向成θ角射入磁场，不计重力的影响，求该粒子射出磁场时的位置与O点的距离．圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，由几何关系可得(式中R为圆轨道的半径)联立①、②两式，解得点评：已知速度的大小，一定要通过计算明确半径的大小，这对正确作图，帮助理解轨迹的走向，应用几何知识计算带电粒子的出射位置有很大的帮助．解得：13、（2001年高考题）如图在y0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度V0从O点射入方向在xy平面内，与x轴正向夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的比荷q/m.θOXYB........................................................................由几何知识：粒子的运动半径：r=L/2sinθ粒子的运动半径：r=mv/qB由上两式可得粒子的荷质比：q/m=2vsinθ/BL解：作出粒子运动轨迹如图。设P点为出射点。14.如图所示，分界面MN右侧是区域足够大的匀强磁场区域，现由O点射入两个速度、电量、质量都相同的正、负粒子，重力不计，射入方向与分界面成角，则A、它们在磁场中的运动的时间相同B、它们在磁场中圆周运动的半径相同C、它们到达分界面是的速度方向相同D、它们到达分界面的位置与O的距离相同O15．如下图所示，长为L、间距为d的平行金属板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，两板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，从左侧两极板的中心处以不同速率v水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v应满足什么条件？解析：设粒子刚好打在上极板左边缘时(如图所示)．R1＝d4，又由Bqv＝mv2r，得R1＝mv1Bq，解得v1＝Bqd4m.设粒子刚好打在上极板右边缘时，由图知：R22＝L2＋(R2－d2)2，所以R2＝4L2＋d24d，又R2＝mv2Bq，解得v2＝Bq4L2＋d24md.综上分析，要使粒子不打在极板上，其入射速率应满足以下条件：vBqd4m或v2Bq4L2＋d24md答案：vBqd4m或v2Bq4L2＋d24md221mveURvmevB2Rr2tan221tgemUrB17.一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图1中纸面向里.（1）求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.*（2）如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是tmqB2OBSvθP*18.如图4所示，在xOy坐标平面的第一象限内有沿－y方向的匀强电场，在第四象限内有垂直于平面向外的匀强磁场．现有一质量为m，带电荷量为＋q的粒子(重力不计)以初速度v0沿－x方向从坐标为(3l，l)的P点开始运动，接着进入磁场后由坐标原点O射出，射出时速度方向与y轴正方向夹角为45°，求：(1)粒子从O点射出时的速度v和电场强度E；(2)粒子从P点运动到O点过程所用的时间；解析根据题意可推知：带电粒子在电场中做类平抛运动，由Q点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，最终由O点射出(轨迹如图所示)．(1)根据对称性可知，粒子在Q点时速度大小为v，方向与－y轴方向成45°，则有：vcos45°＝v0①在P到Q过程中：qEl＝12mv2－12mv20②由①②解得：E＝mv202ql.(2)粒子在Q点时沿－y方向速度大小vy＝vsin45°P到Q的运动时间t1＝vya＝vyqEm.P到Q沿－x方向的位移为：s＝v0t1，则OQ之间的距离为：OQ＝3l－s，粒子在磁场中的运动半径为r，则有：2r＝OQ，粒子在磁场中的运动时间t2＝14×2πrv.粒子由P到O的过程中的总时间T＝t1＋t2，解得：T＝2＋π4lv0.答案(1)2v0mv202ql(2)(2＋π4)lv0借题发挥把握粒子在复合场中做直线运动和匀速圆周运动的条件是解题的关键．*19．如图所示，在第一象限内有一垂直于纸面向里、磁感强度大小B＝2.0×10－3T的匀强磁场，磁场局限在一个矩形区域内