机械原理基本杆组分析法

机械原理机构运动分析基本杆组法上机指导书中国矿业大学机电工程学院二O一五年三月１Ⅱ级机构的杆组分析法通用子程序设计随着计算机的普及，用解析法对机构进行运动分析得到越来越广泛的应用。解析法中有矢量方程解析、复数矢量、杆组分析、矩阵运算等方法。本文采用杆组分析的方法，设计通用的Ⅱ级杆组子程序，可对一般的Ⅱ级机构进行运动分析。1.单杆运动分析子程序单杆的运动分析，通常是已知构件三角形△P1P2P3的边长l、r夹角α以及构件上某基点P1的运动参数x1，y1，x’1，y’1，x’’1，y’’1和构件绕基点转动的运动参数θ，θ’，θ’’，要求确定构件上点P2和P3的运动参数。显然，由图1可得下列关系式：x2=x1+lcosθ，y2=y1+lsinθx’2=x’1-lsinθθ’，y’2=y’1+lcosθθ’x’’2=x’’1-lsinθθ’’-lcosθθ’2,y’’2=y’’1+lcosθθ’’-lsinθθ’2x3=x1+rcos(θ+α)，y3=y1+rsin(θ+α)x’3=x’1-(y3-y1)θ’，y’3=y’1+(x3-x1)θ’x’’3=x’’1-(y3-y1)θ’’-(x3-x1)θ’2,y’’3=y’’1+(x3-x1)θ’’-(y3-y1)θ’2由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。图12.RRR杆组运动分析子程序图2所示RRRⅡ级杆组中，杆长l1，l2及两外接转动副中心P1，P2的坐标、速度、加速度分量为x1，x’1，x’’1，y1，y’1，y’’1，x2，x’2，x’’2，y2，y’2，y’’2，要求确定两杆的角度、角速度和角加速度θ1，θ’1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2。1)位置分析将已知P1P2两点的坐标差表示为：u=x2-x1，v=y2-y1(1)杆l1及l2投影方程式为：l1cosθ1-l2cosθ2=ul1sinθ1-l2sinθ2=v(2)消去θ1得：vsinθ2+ucosθ2+c=0(3)其中：c=(u2+v2+l22-l12)/2l2解式(3)可得：tan(θ2/2)=(v±222cuv)/(u-c)(4)式中+号和-号分别对应图2中m=+1和m=-1两位置。图2２由式(2)可得：tanθ1=(v+l2sinθ2)/(u+l2cosθ2)(5)2)速度分析对式(2)求导一次得：A1θ’1+A3θ’2=u’，A2θ’1+A4θ’2=v’(6)其中：A1=-l1sinθ1，A2=l1cosθ1，A3=l3sinθ2，A4=-l2cosθ2解式(6)可得：ω1=θ’1=(A4u’-A3v’)/D，ω2=θ’2=(A1v’-A2u’)/D(7)其中：D=A1A4-A2A3=l1l2sin(θ1-θ2)3)加速度分析对式(6)求导一次得：A1θ’’1+A3θ’’2=E，A2θ’’1+A4θ’’2=F(8)其中：E=u’’+A2θ’12+A4θ’22，F=v’’-A1θ’12-A3θ’22解式(8)可得：α1=θ’’1=(A4E-A3F)/D，α2=θ’’2=(A1F-A2E)/D(9)由上述式子可设计出RRR杆组运动分析子程序（见程序单）。3.RRP杆组运动分析子程序图3所示RRPⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动和移动副轴线P2P3的方向角变量（θ2，θ’2，θ’’2），P2点为以移动副与构件2相连的构件上运动已知的牵连点，要求确定运动变量l2，θ1，l’2，θ’1，l’’2，θ’’1。1)位置分析由于θ2已知，l2待求，将式(2)消去θ1可得：l22+2(ucosθ2+vsinθ2)l2+(u2+v2-l12)=0由此解得：l2=-(ucosθ2+vsinθ2)±22221)cosvsinu(l(10)式中+号用于转动副中心P3处在P2H线段之外（图3中m=+1的位置），-号用于P3处在P2H线段之内（图3中m=-1的位置）。θ1由式(5)而定。2)速度分析对式(2)求导一次得：图3A1θ’1+A5l’2=G，A2θ’1+A6l’2=H(11)其中：A1，A2同前，A5=-cosθ2，A6=-sinθ2，G=u’+l2A6θ’2，H=v’-l2A5θ’2解式(11)可得：ω1=θ’1=(A6G-A5H)/D8，l’2=(A1H-A2G)/D8(12)其中：D8=A1A6-A2A5=l1cos(θ1-θ2)３3)加速度分析对式(11)求导一次得：A1θ’’1+A5l’’2=E1，A2θ’’1+A6l’’2=F1(13)其中：E1=u’’+A2θ’12+2A6l’2θ’2+l2A5θ’22+l2A6θ’’2F1=v’’-A1θ’12-2A5l’2θ’2+l2A6θ’22-l2A5θ’’2解式(13)可得：α1=θ’’1=(A6E1-A5F1)/D8，l’’2=(A1F1-A2E1)/D8(14)由上述式子可设计出RRP杆组运动分析子程序（见程序单）。4.RPR杆组运动分析子程序图4所示RPRⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动，l1为P1点至导路的垂直距离，P2为过P2'与导路垂直延伸点，延伸距离为w（当P2与P1在导路同侧时，w取正，在异侧时，w取负），要求确定运动变量l2，θ1，θ2，l’2，θ’1，θ’2，l’’2，θ’’1，θ’’2。1)位置分析θ1与θ2的关系为：θ2=θ1±π/2(15)式中+号和-号分别对应图4中m=+1和m=-1两位置。l1与l2有如下关系：21222)wl(vul(16)由式(4)和式(16)可得：tan(θ2/2)=[v±(l1-w)]/(u-l2)(17)2)速度分析由于θ’1=θ’2，引进符号θ’i（i=1,2），对式(2)求导一次得：A7θ’i+A5l’2=u’，A8θ’i+A6l’2=v’(18)其中：A7=-(l1-w)sinθ1+l2sinθ2A8=(l1-w)cosθ1-l2cosθ2图4解式(18)可得：ωi=θi=(A6u’-A5v’)/(-l2)，l’2=(A7v’-A8u’)/(-12)(19)3)加速度分析对式(18)求导一次得：A7θ’’i+A5l’’2=E2，A8θ’’i+A6l’’2=F2(20)其中：E2=u’’+A8θ’i2+2A6l’2θ’i，F2=v’’-A7θ’i2-2A5l’2θ’i解式(20)可得：αi=θ’’i=(A6E2-A5F2)/(-l2)，l’’2=(A7F2-A8E2)/(-l2)(21)由上述式子可设计出RPR杆组运动分析子程序（见程序单），在子程序中，以+m代替前面各式中出现的±计算符。m称之为型参数，在设计主程序时，应根据各类Ⅱ级杆组不同的布置型式，确定m的取值（m可取+1，-1和0）。４5．PRP杆组运动分析子程序图5所示PRPⅡ级杆组中，已知导路1，2两外接点P1，P2的运动，h1，h2分别为未知运动点P3至导路1，2的垂直距离，导路1，2的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2）均已知，要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l2，l’1，l’2，l’’1，l’’2）以及P3点的运动（x3，x’3，x’’3，y3，y’3，y’’3）。1）位置分析推导l1，及l2的方程式：x1+l1cosθ1+h1sinθ1=x2+l2cosθ2-h2sinθ2y1+l1sinθ1-h1cosθ1=y2+l2sinθ2+h2cosθ2整理得：l1cosθ1-l2cosθ2=E1l1sinθ1-l2sinθ2=F1(22)其中：E1=u-A3h1-A4l2，F1=v+A1h1+A2h2，A1=cosθ1，A2=cosθ2，A3=sinθ1，A4=sinθ2。由于θ1，θ2均已知，由此解得：l1=（F1cosθ2-E1sinθ2）/D8l2=（F1cosθ1-E1sinθ1）/D8(23)其中：D8=A2A3-A1A4=sin（θ1-θ2)P3点的位置为：x3=x1+l1cosθ1+h1sinθ1y3=y1+l1sinθ1-h1cosθ1(24)2）速度分析对式（22）求导一次，整理得：l’1cosθ1-l’2cosθ2=E2图5l’1sinθ1-l’2sinθ2=F2(25)其中：E2=u’+A6θ’1–A8θ’2，F2=v’-A5θ’1–A7θ’2，A5=l1cosθ1+h1sinθ1，A6=l1sinθ1-h1cosθ1，A7=l2cosθ2-h2sinθ2，A8=l2sinθ2+h2cosθ2。由（25）解得：l’1=（F2cosθ2-E2sinθ2）/D8l’2=（F2cosθ1-E2sinθ1)/D8(26)P3点的速度为对式（24）求导得：x’3=x’1+l’1cosθ1+A6θ’1y’3=y’1+l’1sinθ1-A5θ’1(27)3）加速度分析对式（25）求导一次，整理得：l’’1cosθ1-l’’2cosθ2=E3l’’1sinθ1-l’’2sinθ2=F3(28)５其中：E3=u’’+2A3l’1θ’1+A5θ’12+A6θ’’1–2A4l’2θ’2–A7θ’22–A8θ’’2，F3=v’’-2A1l’1θ’1+A6θ’12-A5θ’’1+2A2l’2θ’2–A8θ’22+A7θ’’2。解（28）式得：l’’1=（F3cosθ2–E3sinθ2）/D8l’’2=（F3cosθ1–E3sinθ1）/D8(29)P3点的加速度为对式（27）求导得：x’’3=x’’1+A1l’’1-2A3l’1θ’1-A5θ’12-A6θ’’1y’’3=y’’1+A3l’’1-2A1l’1θ’1-A6θ’12-A5θ’’1(30)由上述式子可设计出PRP杆组运动分析子程序（见程序单）。6．RPP杆组运动分析子程序图6所示RPPⅡ级杆组中，已知导路1参考点P1和外转动副P2的运动，h为外副P2至导路2的垂直距离，导路1的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ’’1）已知，导路1与导路2间的夹角为。要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l2，l’1，l’2，l’’1，l’’2）以及导路中心P3，P4点的运动（x3，x4，x’3，x’4，x’’3，x’’4，y3，y4，y’3，y’4，y’’3，y’’4）。1）位置分析推导l1，及l2的方程式：x1+l1cosθ1+l2cos（θ1+）=x2+hsin（θ1+）y1+l1sinθ1+l2sin（θ1+）=y2-hcos（θ1+）整理得：l1cosθ1+l2cos（θ1+）=E1l1sinθ1+l2sin（θ1+）=F1(31)其中：E1=u+A1h，F1=v–A2h，A1=sin（θ1+），A2=cos（θ1+）。由于θ1，均已知，由此解得：l1=（E1sin（θ1+）-F1cos（θ1+））/D8l2=（F1cosθ1-E1sinθ1）/D8(32)其中：D8=A1A4-A2A3=sin，A3=sinθ1，A4=cosθ1图6P3、P4点的位置为：x3=x1+l1cosθ1，y3=y1+l1sinθ1x4=x2+hsin（θ1+），y4=y2-hcos（θ1+）(33)当给定P1、P2点的位置，杆长h的大小和导路的方向角θ1、后，RPP杆组可能有两种形式，即图6中的实线和虚线两种形式，这可用h为“+”（实线机构）和h为“-”（虚线机构）来确定。此外，从式（32）可以看出，为保证机构能够正常运动，两导路之间的夹角不能为0，再考虑到加工和装配等因素以及摩擦的存在，工程实际中，一般要求sin0.1。６2）速度分析对式（31）求导一次，整理得：l’1cosθ1+l’2cos（θ1+）=E2l’1sinθ1+l’2sin（θ1+）=F2(34)其中：E2=u’+θ’1（A2h+A3l1+A1l2），F2=v’-θ’1（A1h-A4l1-A2l2）。由式（34）解得：l’1=（E2sin（θ1+）-F2cos（θ1+））/D8l’2=（F2cosθ1-E2sinθ1)/D8(35)P3、P4点的速度