周培源力学竞赛试题(第六届―第十届)

周培源力学竞赛试题(答案)第六届—第十届第六届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：清华大学满分：120分时间：3小时一、声东击西的射击手（30分）射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里，共有10个小球iP（号码从0到9），你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。圆弧AB的半径为R，B点与地面的高度为H。均质细杆CD的质量为M，长为0.5LH=，悬挂点C与B处于同一水平位置，BC距离为S。小球iP质量均为m，不计半径，小球iP与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为ie，且满足/9(0,1,2,,9)ieii==…。（1）为使小球1P击中杆上D点，试确定静止释放时的θ，距离S有何限制？（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为使E点尽可能远离D点，试确定该小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？（3）假设某小球击中CD杆上的E点，为使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？冲量有多大？OABCDSHPiθEOABCDSHPiθEOABCDSHPiθEOABCDSHPiθE二、骄傲自满的大力士（35分）有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x轴方向，高为2.4mH=，横梁AB平行于地面，沿z轴负方向，长为LH=。立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为0.06mD=。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁B端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计，长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力57MPasσ=。大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是0.5μ=，自己重量为1700NG=，夫人重量为2510NG=。为了显示自己的大度，他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B在地面的投影C为圆心，在地面上画了一个半径0.8mR=的圆圈，要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈，但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起，就同意了。大力士抽签先上场，他决定让绳索与xy平面平行，但绳索与地面的夹角θ不知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管每次都用了最大力气，但是球门居然纹丝不动，也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了……（1）当大力士让绳索与地面成θ角度，绳索中的拉力最大为多大？该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？（2）当大力士让绳索与地面成θ角度，球门中最危险点的坐标值是多少？（3）在限制条件下，θ角为多少时大力士最接近把球门拉倒？夫人可能采用什么方式把球门拉倒？BCRxyzOAHLθBCRxyzOAHLθ三、顾此失彼的挑战者（30分）魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验如何让水晶球在板上平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。魔术师首先介绍道具（如图所示）：两个透明的水晶圆球1O和2O；一个滚轴D；一个透明的水晶平板AB，A端水平固定在墙中，不考虑自重时AB板与水平面平行。在表演时，滚轴D可以根据需要安装在AB板的任意位置，且A与D总在同一高度。假设水晶板是均质等截面板，长度为l，单位长度重量为q，弯曲刚度为EI。两均质水晶圆球的半径均为r，重量均为Pql=。假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴D，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。魔术师的问题如下：（1）如果把滚轴D安装在AB板的B处，此时AB板由于自重所导致的最大挠度在何处？（2）如果把滚轴D安装在AB板之间的某处，有可能使水晶球1O在板上静止，且球与板的接触点恰好是B点。如果不需要具体计算，如何说明滚轴D是更靠近A点还是更靠近B点？定性画出此时AB板挠度的示意图。（3）如果把滚轴D安装在AB板的中点，能否让水晶球1O在AD之间某位置平衡，接触点为1C；同时让水晶球2O在DB之间某位置平衡，接触点为2C。观众试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。如果你认为本问题有解，1AC和2AC的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？ABDO1O2ABDO1O2四、技高一筹的魔术师（25分）魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题）。魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。说完在后落下的水晶球1O表面贴上了小纸片以示区别（假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量）。只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的1O球静止放在板上（接触点为B点），同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球1O竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。在观众的掌声中，魔术师撤走了1O球，把2O球拿了起来。“这个水晶球不太听话，我的魔力只能管1分钟。”魔术师说完把2O球转了转，然后更加小心地把2O球也放在板上（接触点为B点）。观众发现，2O球在B点停留了大约1分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来……（1）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？（2）水晶球1O可在B点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。（3）水晶球2O只能在B点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。注：第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。ABDO1O2ABDO1O21第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案清华大学航天航空学院高云峰一、声东击西的射击手（30分）（1）2arccos12SHRθ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠；S的限制为2SHR≤。（2）91e=（号码为9）；0CE=；22arccos116SNHRθ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，N为与地面的碰撞次数。（3）669e=（号码为6）；13CEH=；0CI=；226arccos14(1)SeHRθ⎛⎞=−⎜⎟+⎝⎠。二、骄傲自满的大力士（35分）（1）1cossinGTμθμθ=+；大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。（2）危险点坐标()11220,cos,-sinDDθθ（3）大力士在0θ=时最接近拉坏球门：1356.0Mpaσσ−=；夫人进入圆圈内，90θ=°时可以有1357.9MPaσσ−=三、顾此失彼的挑战者（30分）（1）最大挠度处：15330.5816xll−=≈（2）滚轴D更靠近B点；挠度示意图如下：（3）解不存在，证明见解题过程。四、技高一筹的魔术师（25分）（1）水晶球2O涂了新型材料。（2）关键参数：1tanBμθ≥；纸片重量sin1sinBBPGθθ≥−，（323BqlEIθ=）。（3）关键参数：2tanBμθ=；初始角速度0150sinBgrθω≈。ABDABD第七届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：西北工业大学满分：120分时间：3小时一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20分)一半球形高脚玻璃杯，半径r=5cm，其质量m1=0.3kg，杯底座半径R=5cm，厚度不计，杯脚高度h=10cm。如果有一个质量1.02=mkg的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数fs=0.5。试分析小球在运动过程中：（1）高脚玻璃杯会不会滑动；（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。二、杂耍圆环(40分)1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心O点的速度大小为0v，圆环的角速度为0ω，圆环半径为r，质量为m，圆环与地面间的静摩擦因数为sf，不计滚动摩阻，试问：（1）圆环能自己滚回来的条件是什么？（2）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？（3）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为v1，圆环平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为h(h2r)的无弹性台阶后，能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。3.演员又用细铁棍推动题2中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保持在铅垂平面内滚动，如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为ft，圆环与地面间的滚动摩阻系数为δ。试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。三、趣味单杠(30分)单杠运动是奥运会、世界体操锦标赛、世界杯体操比赛中男子体操比赛项目之一。单杠是体操比赛中最具观赏性的项目，也是观众最喜欢的运动，在学校和健身场所拥有众多的爱好者，小李和小张就是其中之一。一天，他们准备在单杠上进行大回环比赛。假设单杠的横杆和立柱均为直径D=28mm的钢杆，弹性模量E=200GPa，许用应力[σ]=160MPa，横杆长L=2.4m，立柱高H=2.6m。立柱与地面、横杆与立柱之间均为固定联结。假设两人旋转到单杠所在平面内时的惯性载荷均为F=1000N，不计人的自重。1.试分析两人同步旋转到单杠所在平面内时，结构中的最大应力。2.若两人相差180°旋转到单杠所在平面内，对结构中的最大应力有什么影响。3.为提高结构承载能力，有人提出在单杠距地面0.6m处增加一个直径20mm的拉杆。试定性分析该杆对上述两种情况的影响。四、跳板跳水(30分)举世瞩目的第29届北京奥林匹克运动会上，具有“梦之队”之称的中国跳水队获得了跳水比赛8枚金牌中的7枚，囊括了3m跳板跳水的4枚金牌。Duraflex的MaxiflexModelB跳水板是奥林匹克跳水比赛和国际级跳水比赛唯一指定使用的产品，它的具体尺寸如图所示，其中横截面尺寸为=b0.5m，=h0.05m，跳板的弹性模量GPa70=E，比重3kN/m25=γ，m2.3=a，m6.1=l。运动员从跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点C，再从跳板上弹起至空中完成动作后落水。若运动员体重N700=G，最大弹跳高度m6.0=H，取2m/s8.9=g。1.根据所学知识，建立相应的力学分析模型。2.为保证运动员落水安全，运动员从空中落入水中时，在跳板所在平面处，运动员质心距跳板C端最小距离s应大于0.5m。试求运动员从跳板上跃时所需最小水平速度（假设水平方向为匀速运动）？3.不计跳板质量，将运动员视为刚体时，运动员冲击跳板时，跳板中的最大动应力为多少？4.如运动员为弹性体，定性说明在冲击时跳板中的最大动应力增大还是减小？5.如考虑跳板质量，试计算跳板中的最大动应力。labhHsABC1第七届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20分)当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角°≈63.4ϕ时，高脚玻璃杯侧倾（一侧翘起）。二、杂耍圆环(40分)1.圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。开始滚动角速度大，圆环一跳一跳地向前滚动；随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。2.（1）圆环自己滚回的条件为：rv00ω方向如图所示。（2）距离：s20221s8g)v-(r)(g21sfttfω=−⋅⋅=（3）圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件为：g)hr(4r)h2r(vhg4r22212−−3．当接触点A与圆环中心C的连线与铅垂线间的夹角tarctanarctanfr−=δα时，推力F取最小值。三、趣味单杠(30分)（1）结构中的最大应力][MPa143maxmaxσσ==WM（2）结构中的最大应力][MPa132maxmaxσσ=