空间直线的一般方程

xyzo12定义空间直线可看成两平面的交线．0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程注：表示同一直线的一般方程不唯一。第八节空间直线及其方程确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。xyzo方向向量的定义：sL,),,(0000LzyxM设定点0MM,),,(LzyxMsMM0//},,,{pnms},,{0000zzyyxxMM二、空间直线的参数方程与对称式方程如果一非零向量平行于一条已知直线L，向量称为直线L的方向向量．ss},,{},,{000pnmtzzyyxx则ptzzntyymtxx000直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程消去参数t，有注：1.表示同一直线的对称方程不唯一；2.对称式方程可转化为一般方程;4.任一条直线均可表示为对称式方程.),,(),,,(222111zyxNzyxM直线过直线的两点式方程：设121212,,zzyyxxs则121121121zzzzyyyyxxxx直线方程为：pzznyyxx0000.3.,000pzznyyxx理解为:例1用对称式方程及参数方程表示直线.043201zyxzyx解在直线上任取一点),,(000zyx取10x,063020000zyzy解得2,000zy点坐标),2,0,1(因所求直线与两平面的法向量都垂直取21nns},3,1,4{对称式方程,321041zyx参数方程.3241tztytx例2一直线过点)4,3,2(A，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(B取BAs},4,0,2{所求直线方程.440322zyx的公垂线方程。：与直线求直线例zyxLzyxL02110123:321L1L2L1,2,11,0,10,1,2sL的方向向量解：5,2,10,1,21,2,1111nLL，确定一平面与2,2,21,0,11,2,1222nLL，确定一平面与0)2()1(:0)1(52)3(:21zyxzyx010852zyxzyx公垂线：定义直线:1L,111111pzznyymxx直线:2L,222222pzznyymxx22222221212121212121||),cos(pnmpnmppnnmmLL^两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：21)1(LL,0212121ppnnmm21)2(LL//,212121ppnnmm直线:1L直线:2L},0,4,1{1s},1,0,0{2s,021ss,21ss例如，.21LL即例4一直线L过点(-3,2,5)，且和直线15234zyxzx平行，求其方程.解所求直线方程.153243zyx}1,3,4{51240121kjinns方法2:设},,{pnms13405204,21pnmpnmpmnsns}1,3,4{s取例5一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L:12131zyx垂直相交，求其方程.取}4,1,2{10MkMs所求直线方程.431122zyx解设所求直线为l,先求两直线的交点。LlM1M0过点M0做平面垂直于直线L：3x+2y-z=5代入平面方程的参数方程：tztytxL2131所以交点为M1(2/7,13/7,-3/7)定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．,:000pzznyymxxL,0:DCzByAx},,,{pnms},,,{CBAn2),(ns^2),(ns^四、直线与平面的夹角0.2222222||sinpnmCBACpBnAm直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：L)1(.pCnBmAL)2(//.0CpBnAm.cos2cossin2例6设直线:L21121zyx，平面:32zyx，求直线与平面的夹角.解},2,1,1{n},2,1,2{s222222||sinpnmCBACpBnAm96|22)1()1(21|.637637arcsin为所求夹角．称为平面束。全部平面组成的平面族定义：通过一条直线的0022221111DzCyBxADzCyBxAL：0)()(2222211111DzCyBxADzCyBxAL束为的全部平面组成的平面则过直线不同时为零。，210)()(22221111DzCyBxADzCyBxAL的面束为则过直线五、平面束例7解.401284,0405:角的平面方程组成且与平面求过直线zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为,0)4(5zxzyx,04)1(5)1(zyx即}.1,5,1{n其法向量}.8,4,1{n又已知平面的法向量由题设知114cosnnnn222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(,2723222即由此解得.43代回平面束方程为.012720zyx例8解.1243:,12:)1,1,1(210LxzxyLxzxyLM都相交的直线且与两直线求过点将两已知直线方程化为参数方程为1243:,12:21tztytxLtztytxL的交点分别为与设所求直线21,LLL).12,43,()1,2,(222111tttBtttA和,,)1,1,1(0三点共线与BAM).(00为实数故BMAM即有,,00对应坐标成比例于是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121tttttt,0,021tt解之得)3,2,2(),1,0,0(BA,)3,2,2()1,1,1(0上同在直线和点LBM的方程为故L.211111zyx思考题在直线方程pznymx6224中，m、n、p各怎样取值时，直线与坐标面xoy、yoz都平行.