1.1 消元法解线性方程组及其矩阵表示

§1.1消元法解线性方程组及其矩阵表示一、消元法解线性方程组二、用矩阵表示消元的过程三、线性方程组解的情况例1解二元线性方程组解:用高斯消元法（1.1）（1.2）（1.1）÷3（1.2）（1.3）一、消元法解线性方程组及几何意义023yxyx+2633yyx23yyx（1.3）（1.4）21yx-二元线性方程组解的几何解释从行图像来看，两直线交点（x=1，y=2）就为方程组的解。从列图像来看，方程组可表示为向量形式：301112yx列向量的线性组合当x=1，y=2时，可表示为和的线性组合。301211当左侧向量α1、α2不共线，其所有的组合生成了整个平面。故对于所有的右侧向量b，都可找到唯一的x、y，使得组合成立，即线性方程组有唯一解。当左侧向量α1、α2共线，线性方程组有无穷多个解或无解。思考：是否所有二维向量方程xα1+yα2=b，都能找出相应的x、y，使得方程成立？例2解三元线性方程组,,,426221283zyxzyxzyx解:用高斯消元法（1.1）,,,426128322zyxzyxzyx（1.2）（1.1）-3-（1.2）,,,2462222zyzyzyx（1.3）（1.3）-2,,,10562222zzyzyx（1.4）行阶梯形方程组,,,2142zyyx回代易得,,,212zyx（1.5）+①-（1.6）（1.7）①-2（1.4）÷2÷5,,,2322zzyzyx（1.5）（1.6）三元线性方程组解的几何解释从行图像来看，三个平面的交点（x=2，y=1，z=-2）就为方程组的解。从列图像来看，方程组可表示为向量形式：4212211628113zyx列向量的线性组合当x=2，y=1，z=-2时，可表示为的线性组合。4212211628113和、思考：是否所有三维向量方程xα1+yα2+zα3=b，都能找出相应的x、y、z，使得方程成立？当左侧向量α1、α2、α3不共面，其所有的组合生成了整个三维空间。故对于所有的右侧向量b，都可找到唯一的x、y、z，使得组合成立，即线性方程组有唯一解。当左侧向量α1、α2、α3共面，线性方程组有无穷多个解或无解。右侧向量b在其平面内，线性方程组有无穷多个解。右侧向量b不在其平面内，线性方程组无解。回顾上述化简消元的过程，我们发现只对方程组进行了三种变换：（1）交换两个方程的次序；（2）用非零数乘以某个方程；（3）用一个数乘某个方程后加到另一个方程上。这三个变换称为初等变换。而且只对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量、‘+’、‘=’没有变化，故省去。那求解的过程可用相应的数表表示出来：二、用矩阵表示消元的过程同理，我们只对数表进行了三种变换：（1）交换两行次序；记为ri↔rj（行交换）（2）用非零数乘以某行；记为k×ri（行倍乘）（3）用第j行的k倍加到第i行上。记为ri+k×rj（行倍加）这三个变换称为初等行变换。42612121121834261121832121增广矩阵系数矩阵r2-3r1r3-r1r1↔r2例2用矩阵表示求解三元线性方程组：2140622021211050062202121r3-2r2行阶梯形矩阵：①下方元素均为零，②每个台阶只有一行，竖线后第一个数为非零。210031102121r2÷2r3÷5r2+r3r1-r321001010402121,2321xxx,有唯一解r1-2r2210010102001单位矩阵E解向量备注：1）增广矩阵（A,b）只能进行初等行变换。2）增广矩阵,即可得到解X，XEbA,,初等行变换但实际上，矩阵行变换到行阶梯形矩阵可更快速求出解。3）解齐次线性方程组，只需对系数矩阵A进行初等行变换即可。线性方程组解一共有三种情况：有唯一解，无穷个解，无解。三、线性方程组解的情况例2求解线性方程组.979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx,,,解:将增广矩阵初等行变换：979634226441211211129796321132211124121132121rrr14133232rrrrrr3433063550022204121124232352rrrrr3100062000011104121134rr00000620000111041211得，0033443231xxxxx3有效方程4个未知数，故有无穷多个解令x3=任意值c，得3344321xcxcxcx00000620000111041211主元：每行第一个非零元素x1x2x4——非自由未知量x3——自由未知量如何求出所有的解呢？例3求解齐次线性方程组.0793083032054321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx,,,解:将系数矩阵初等行变换：7931181332111511A814404720472015111214133rrrrrr000000004720151123242rrrr得，0472054324321xxxxxxx主元令x3=c1，x4=c2，（c1，c2为任意常数），得241321221122723cxcxccxccx例4求解线性方程组.321412343243214321xxxxxxxxxxx,,解:将增广矩阵初等行变换：31120114111231131120211201231112rr23rr100002112012311得.10221234324321,,xxxxxxx故方程组无解。例5当a为何值时，下列解线性方程组有唯一解?无解？无穷多解？.233321321321321xaxxaxxxxxx,,2313321111aa13122rrrr解:将增广矩阵初等行变换：141012101111aa总结：当有效方程个数=未知量个数时，有唯一解；当有效方程个数未知量个数时，有无穷个解；当出现类似方程0=1时，无解有唯一解32032-aaaa且即当02032aaa当2a即有无穷个解02032aaa当3a即无解注：此变换是错的132arr231raraaaa2320012101111