函数的凹凸性与拐点

1问题：如何研究曲线的凹凸性?xyo第五节函数的凹凸性与拐点在绘制函数图像时,仅知道函数的单调性(函数是上升还是下降）是不够的,还需知道曲线的弯曲方向.曲线的弯曲方向也是曲线的基本特性之一.曲线的凹凸性2xyo)(xfy图形上任意弧段位于xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于221xx221xx)2(21xxf)2(21xxf2)()(21xfxf2)()(21xfxf1x2x所张弦的下方：凹所张弦的上方：凸凹凸1212()()().22xxfxfxf1212()()().22xxfxfxf一、曲线凹凸性的定义（上凹、下凸）（下凹、上凸）3知识回顾：1、函数单调性的判别法则定理.),(],[)(内可导上连续，在在设函数babaxfy1(,)()0()[,]abfxyfxab（）如果在内，则函数在上单调增加；2(,)()0()[,]abfxyfxab（）如果在内，则函数在上单调减少；定理(极值的必要条件)设0x是)(xf的极值点，且)(xf在点0x可导，则必有0)(0xf.2、极值的充分、必要条件4极值点是函数单调性发生改变的点,即为单调区间的分界点.定理(极值的第一充分条件)(1)若),(00xxx时,0)(xf,),(00xxx时,0)(xf,则0x为极大值点；(2)若),(00xxx时,0)(xf,),(00xxx时,0)(xf,则0x为极小值点；(3)如果在上述两个区间内)(xf同号,则0x不是极值点.xyoxyo0x0x5定理3(极值的第二充分条件)设函数)(xf在它的驻点0x处二阶可导,则(1)如果0)(0xf,则0x为极小值点；(2)如果0)(0xf,则0x为极大值点；(3)如果0)(0xf,则无法判断.当第二充分条件失效时,需用第一充分条件或定义法进行判断.6内任意如果对内连续在设),(,),()(babaxf定义xyo1x2x)(xfyxyo1x2x)(xfy()(,)fxab则称在内的图形是凹的恒有两点,,,2121xxxx,2)()()2(2121xfxfxxf)((凸的).7拐点凹凸当曲线是凹的时，f(x)单调增加.当曲线是凸的时，f(x)单调减少.二、曲线凹凸性的判定曲线凹凸性发生改变的点称为曲线的拐点.研究曲线的凹凸性与拐点问题相当于研究一阶导函数()fx的单调性与极值问题.8设函数)(xf在],[ba上连续，在),(ba内二阶可导定理（曲线凹凸性的判别法）(1)如果,0)(xf,),(bax则曲线)(xfy在],[ba上是凹的；(2)如果,0)(xf,),(bax则曲线)(xfy在],[ba上是凸的.（证略）拐点的计算：1、找出二阶导数为零的点或二阶导数不存在的点；2、若它两侧的二阶导数值异号,则为拐点；注意：拐点是平面上的点,要写出纵坐标.若同号则不是拐点.9例13.yx判断曲线的凹凸性，并求拐点解23,yx6,yx时，当0x,0y(,0]曲线在凸的上是；时，当0x,0y[0,)曲线上是凹的在；.)0,0(是曲线的拐点点xyO3xy常见错误：.0x是曲线的拐点拐点是平面点,有两个坐标.(,).D1143341.yxx求曲线的凹凸区间及拐点例2解(,).D,121223xxyxxy24362,0y令.32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00拐点拐点.)32(36xx11()fx的凹区间为凸区间为2(,0),(,+)3拐点：211(0,1)(,).327，2[0,]312(,).D213352,33yxx143310299yxx34251),9xx（x)51,(51)0,51(0),0(y0不存在y拐点例332(1).yxx求曲线的凹凸区间与拐点解非拐点0y令，(0).f又不存在15x，13例332(1).yxx求曲线的凹凸区间与拐点解x)51,(51)0,51(0),0(y0不存在y拐点非拐点()fx的凹区间为1(,+)5；凸区间为1(,].53161(,).5525拐点：14例4解.3的拐点求曲线xy)0(x,3132xy,9235xy.,,0均不存在是不可导点yyx,0,)0,(y内但在,0,),0(y内在.)0,0(3的拐点是曲线点xy15利用凹凸性证明不等式例5lnln()ln()2xyxxyyxy证明：(0,0,)xyxy证lnln()ln()2xyxxyyxylnln()ln()222xxyyxyxy()lnfttt令，()(0,)ft则在上连续.()ln1ftt，1()ftt0(0,)t()(0,)ft从而在上是凹的.由函数凹性定义，()()()22fxfyxyflnln()ln()222xxyyxyxy即得证.16不等式证明的方法：1、拉格朗日中值定理；2、函数的单调性、极值；3、函数的凹凸性；17作业：1343P