函数的单调性

1第1课时函数的单调性21.通过直观的函数图象变化趋势，理解函数的单调性；2.理解函数的单调性的定义、知道什么是单调函数；3.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性;4.会利用单调性的定义来解决一些实际简单的问题.3我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律。()fxx函数的图像由左到右是上升的2f(x)=x函数在ｙ轴的左侧是下降的，在ｙ轴的右侧是上升的。f(x)=xR函数在上函数值随ｘ的增大而增大2f(x)=x-0函数在（，］上函数值随ｘ的增大而减小，在（０，＋）上函数值随ｘ的增大而增大。增函数增函数减函数1x1f(x)2x2f(x)4一般地，设函数f(x)的定义域为I:一、函数是单调性的定义f(x)12xx，12xx12f(x)f(x)如果对于定义域I内上的两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是．某个区间D任意增函数（一）增函数1x2xx0y)(1xf)(2xf上升5一般地，设函数f(x)的定义域为I:f(x)12xx，12xx12f(x)f(x)如果对于定义域I内上的两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是．某个区间D任意减函数（二）减函数x0y1x2x)(1xf)(2xf下降6（三）单调性如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间．yf(x)yf(x)yf(x)71.在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性,即必须是f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2)),而不能是f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2));二、对函数单调性的理解2.函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,是局部概念;xy083.单调性讨论必须在一个区间上。4.区间端点的写法（对于单独的一点，没单调可言，单调区间是包括端点也可以不包括也可以，但对于某些点无意义时单调区间就不包括这些点）(如y=y=1／x)12x95.并不是所有函数都具有单调性，有的函数不具有单调性（如y=2，y=x(x∈0,1,2))6.函数单调性定义中的,，必须满足任意性，不可以随意取两个特殊值。1x2x102、如果对于区间（a，b）上的任意x有f(x)＞f(a)，则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数．想一想判断下列说法是否正确12xx1、如果对于区间（a，b）上存在，使得则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。12f(x)f(x)3、函数f(x)在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当时，有则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。12axx......b12))f(a)f(xf(x......f(b)4、若f(x)是R上的增函数，且,则。12()()fxfx12xx错误错误错误正确11三、单调区间的求法：（1）直观法：对于我们熟悉的函数，如一次函数，二次函数，反比例函数等，可直观判断它们的单调性，写出其单调区间（2）图像法：能作出图像的函数我们可通过观察法确定函数的单调区间。（3）定义法：有些函数不能作出图像，也不能观察出单调区间，只有用定义法来求其单调区间，对于抽象函数单调性判断的方法12直观法看常见函数的单调性及单调区间1.一、二次函数及反比例函数的单调性：(1)一次函数y＝kx＋b的单调性由参数k决定：当k＞0时，该函数在R上是增函数；当k＜0时，该函数在R上为减函数．(2)反比例函数y＝kx(k≠0)的单调性如下表所示：k的符号单调区间k＞0在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减k＜0在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增13(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性以对称轴方程x＝－b2a为分界线.a＜0在(－∞，－b2a)上单调递增，在(－b2a，＋∞)上单调递减a＞0在(－∞，－b2a)上单调递减，在(－b2a，＋∞)上单调递增2.当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，如(－1，2)，(3，＋∞)等．141.如图1－3－1是定义在区间[－4，7]上的函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．图1－3－115【解析】由图可知，函数y＝f(x)的图象在[－4，－1.5]及[3，5)，[6，7]上具有下降趋势．在[－1.5，3]及[5，6)上具有上升趋势，故函数f(x)的单调增区间是[－1.5，3]及[5，6)；单调减区间是[－4，－1.5)，[3，5)及[6，7]．【答案】[－1.5，3)，[5，6)[－4，－1.5)，[3，5)，[6，7]16类型1用定义法求解函数单调性及单调区间(2013·安庆高一检测)判断函数f(x)＝x＋9x在x∈[3，＋∞)上的单调性并用定义证明．【思路探究】取值→作差→变形→判号→定论17【自主解答】函数f(x)＝x＋9x在[3，＋∞)上是增函数．任取x1，x2∈[3，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋9x1－x2－9x2＝（x1－x2）（x1x2－9）x1x2又x1x2，∴x1－x20，又x1，x2∈[3，＋∞)，∴x1x2－90，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)．即f(x)＝x＋9x在[3，＋∞]上为增函数．18定义法判断函数单调性的四个步骤19试证明函数f(x)＝x＋9x在(0，3)上的单调性．【证明】任取x1，x2∈(0，3)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋9x1－x2－9x2＝（x1－x2）（x1x2－9）x1x2.又∵0x1x23，∴x1－x20，x1x2－90，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴f(x)＝x＋9x在(0，3)上为减函数．20二、拓展延伸函数单调性的运算性质及相关结论1．函数单调性的等价定义当(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0时，函数y＝f(x)是单调增函数；当(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0时，函数y＝f(x)是单调减函数(x1，x2是函数y＝f(x)的同一个单调区间中的任意两个值)．212．函数单调性的运算性质若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．(2)f(x)与a·f(x)，当a0时具有相同的单调性；当a0时具有相反的单调性．(3)当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x)与1f（x）具有相反的单调性．223.在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)单调增函数单调增函数单调增函数不能确定单调性单调增函数单调减函数不能确定单调性单调增函数单调减函数单调减函数单调减函数不能确定单调性单调减函数单调增函数不能确定单调性单调减函数234.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．5．复合函数的单调性复合函数f(g(x))的单调性与构成它的函数u＝g(x)，y＝f(u)的单调性密切相关，其规律为24(1)若u＝g(x)在A上是增(减)函数，y＝f(u)在B上也是增(减)函数，则函数y＝f(g(x))在A上是增函数；(2)若u＝g(x)在A上是增(减)函数，而y＝f(u)在B上是减(增)函数，则函数y＝f(g(x))在A上是减函数．上述结论简记为“同增异减”，需要注意内层函数g(x)的值域在外层函数f(x)的定义域内．25类型2依据函数图象给出单调区间求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数．(1)y＝3x－2；(2)y＝－1x；(3)y＝－x2＋2x＋3.思路探究】画出函数的草图―→结合图象“升降”给出单调区间26变式训练2求函数y=的单调区间322xx.27分析：“脱去”绝对值符号画出函数图像由图像观察得出。解：当x≥0时，y=-+2x+3=当x＜0时，y=--2x+3=在和上，函数是增函数在和上，函数是减函数习题2x4)1(2x0,1,00,1,14)1(2x2x28函数单调性的应用已知函数f(x)＝kx2－4x－8在[5，20]上是单调函数，求实数k的取值范围．【思路探究】首先对二次项系数k是否为零进行分类讨论，然后利用数形结合思想方法进行解答．29【自主解答】当k＝0时，f(x)＝－4x－8，其在[5，20]上是单调减函数，所以k＝0符合题意．当k≠0时，有两种情况：①k0时，要使f(x)在[5，20]上单调，必有5≥2k或20≤2k，即k≥25或0k≤110.②k0时，显然[5，20]在对称轴右侧是单调减区间，所以k0成立．综上可知，实数k的取值范围是{k|k≤110或k≥25}．30由函数的单调性求参数取值范围的两种方法(1)利用单调性的定义例如，由f(x1)f(x2)结合单调性，转化为x1与x2的大小关系．(2)利用函数的特征例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围．31已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(4a－3)f(5＋6a)，则实数a的取值范围是________．【解析】由题意得，4a－35＋6a，即a－4.【答案】(－∞，－4)．32因混淆“单调区间”和“区间上单调”两个概念致误若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．【错解】函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．33【防范措施】单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．【正解】因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.【答案】a＝－3341.定义单调性时应强调x1，x2，在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2.证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、判号、定论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．353.已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)f(x2)x1x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题．361.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量之间的关系.解：在一定范围内，生产效率随着工人的数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数增加而降低。结论：并不是工人数越多，生产效率越高。372.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间是[-1,0）,[0,2）,[2,4）,[4,5].在区间[-1,0）,[2,4）上函数是减函数；在区间[0,2）,[4,5]上函数是增函数.383.整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午（12：00—13：00）时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00），才又开始转凉.请画出这天8：00—20：00期间气温作为时间的函数的一个可能图象，并说明所画函数的单调区间.解：单调增区间是[8,12）,[13,18）;单调减区间是[12,13）,[18,20].394.函数y＝－x2＋2x－2的单调递减区间是()A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，2]D．[2，＋∞)【解析】∵函数y＝－x2＋2x－2的开口向下，且对称轴为x＝1，∴函数y＝－x2＋2