上海教材高中数学知识点总结[1]

1一、集合与常用逻辑1．集合概念元素：互异性、无序性2．集合运算全集U：如U=R交集：}{BxAxxBA且并集：}{BxAxxBA或补集：}{AxUxxACU且3．集合关系空集A子集BA:任意BxAxBABBABAABA注：数形结合---文氏图、数轴4．四种命题原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若p则q逆否命题：若q则p原命题逆否命题否命题逆命题5．充分必要条件p是q的充分条件：qPp是q的必要条件：qPp是q的充要条件：p⇔q6．复合命题的真值①q真（假）⇔“q”假（真）②p、q同真⇔“p∧q”真③p、q都假⇔“p∨q”假7.全称命题、存在性命题的否定M,p(x）否定为:M,)(XpM,p(x）否定为:M,)(Xp二、不等式1．一元二次不等式解法若0a，02cbxax有两实根,)(，则02cbxax解集),(202cbxax解集),(),(注：若0a，转化为0a情况2．其它不等式解法—转化axaax22axaxax或ax22ax0)()(xgxf0)()(xgxf)()(xgxfaa)()(xgxf（a1）)(log)(logxgxfaafxfxgx()()()0（01a）3．基本不等式①abba222②若Rba,，则abba2注：用均值不等式abba2、2)2(baab求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数()()fxfxf(x)图象关于y轴对称f(x)奇函数()()fxfxf(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0③“奇+奇=奇”（公共定义域内）2．单调性f(x)增函数：x1＜x2f(x1)＜f(x2)或x1＞x2f(x1)＞f(x2)或0)()(2121xxxfxff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”③奇函数在对称区间上单调性相同3偶函数在对称区间上单调性相反3．周期性T是()fx周期()()fxTfx恒成立（常数0T）4．二次函数解析式：f(x)=ax2+bx+c，f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-x1)(x-x2)对称轴：abx2顶点：)44,2(2abacab单调性：a0，]2,(ab递减，),2[ab递增当abx2，f(x)minabac442奇偶性：f(x)=ax2+bx+c是偶函数b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法---注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b奇函数b=0四、基本初等函数1．指数式)0(10aannaa1mnmnaa2．对数式bNalogNab（a0,a≠1）NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglogMnManaloglogabbmmalogloglogablglgnaabbnloglogablog1注：性质01loga1logaaNaNalog常用对数NN10loglg，15lg2lg自然对数NNelogln，1lne3．指数与对数函数y=ax与y=logax4定义域、值域、过定点、单调性？注：y=ax与y=logax图象关于y=x对称（互为反函数）4．幂函数12132,,,xyxyxyxyxy在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(hxfyxfy伸缩：)1()(xfyxfy倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(xfyxfyxfyxfyxfyxfyyx原点轴轴注：)(xfyax直线)2(xafy翻折：)(xfy|()|yfx保留x轴上方部分，并将下方部分沿x轴翻折到上方10105y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyx)(xfy(||)yfx保留y轴右边部分，并将右边部分沿y轴翻折到左边y=f(x)cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx3．零点定理若0)()(bfaf，则)(xfy在),(ba内有零点（条件：)(xf在],[ba上图象连续不间断）注：①)(xf零点：0)(xf的实根②在],[ba上连续的单调函数)(xf，0)()(bfaf则)(xf在),(ba上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点---0)()(bfaf？六、三角函数1．概念第二象限角)2,22(kk(Zk)2．弧长rl扇形面积lrS213．定义rysinrxcosxytan其中),(yxP是终边上一点，rPO4．符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如sin)2(Sin，sin)2/cos(6．特殊角的三角函数值06432236sin0212223101cos1232221010tg03313/0/7．基本公式同角1cossin22tancossin和差sincoscossinsinsinsincoscoscostantan1tantantan倍角cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan降幂cos2α=22cos1sin2α=22cos1叠加)4sin(2cossin)6sin(2cossin3)sin(cossin22baba)(tanba8．三角函数的图象性质单调性：)2,2(增),0(减)2,2(增y=sinxy=cosxy=tanx图象sinxcosxtanx7注：Zk9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC2cos2sinCBA正弦定理：Aasin=Bbsin=CcsinARasin2CBAcbasin:sin:sin::余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA（求边）cosA=bcacb2222（求角）面积公式：S△＝21absinC注：ABC中，A+B+C=？BABAsinsina2＞b2+c2⇔∠A＞2七、数列1、等差数列定义：daann1通项：dnaan)1(1求和：2)(1nnaanSdnnna)1(211中项：2cab（cba,,成等差）性质：若qpnm，则qpnmaaaa2、等比数列定义：)0(1qqaann通项：11nnqaa值域[-1，1][-1，1]无奇偶奇函数偶函数奇函数周期2π2ππ对称轴2/kxkx无中心0,k0,2/k0,2/k8求和：)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn中项：acb2（cba,,成等比）性质：若qpnm则qpnmaaaa3、数列通项与前n项和的关系)2()1(111nssnasannn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减三角形法则，平行四边形法则BCABAC首尾相接，OCOB=CB共始点中点公式：ADACAB2D是BC中点2．向量数量积ba=cosba=2121yyxx注：①ba,夹角：00≤θ≤1800②ba,同向：baba3．基本定理2211eea（21,ee不共线--基底）平行：ba//ba1221yxyx（0b）垂直：0baba02121yyxx模：a＝22yx22)(baba夹角：cos||||baba注：①0∥a②cbacba（结合律）不成立③cabacb（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念9复数：biaz(a,b)R，实部a、虚部b分类：实数（0b），虚数（0b），复数集C注：z是纯虚数0a，0b相等：实、虚部分别相等共轭：biaz模：22baz2zzz复平面：复数z对应的点),(ba2．复数运算加减：（a+bi）±(c+di)=？乘法：（a+bi）（c+di）=？除法：dicbia=))(())((dicdicdicbia==…乘方：12i，nirrkii43．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论）4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论反证法：反设—推理—矛盾—结论分析法：执果索因分析法书写格式：要证A为真，只要证B为真，即证……，这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，k1)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角范围0,斜率2121tanyykxx注：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角10倾斜角为90时，斜率不存在2、直线方程点斜式)(00xxkyy，斜截式bkxy两点式121121xxxxyyyy，截距式1byax一般式0CByAx注意适用范围：①不含直线0xx②不含垂直x轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系（注意条件）平行12kk且21bb垂直121kk垂直12120AABB4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(yyxx点到直线距离：0022AxByCdAB5、圆标准方程：222)()(rbyax圆心),(ba，半径r圆一般方程：022FEyDxyx（条件是？）圆心,22DE半径2242DEFr6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系22020)()(rbyax点00,Pxy在圆外7、直线截圆所得弦长222ABrd位置关系相切相交相离几何特征drdrdr代数特征0△0△0△11十一、圆锥曲线一、定义椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)双曲线：|PF1|-|PF2|=±2a(02a|F1F2|)抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）椭圆12222byax(ab0)双曲线12222byax(a0,b0)中心原点对称轴？焦点F1(c,0)、F2(-c,0)顶点:椭圆(±a,0),(0,±b)，双曲线(±a,0)范围:椭圆-axa,-byb双曲线|x|a，yR焦距：椭圆2c（c=22ba）双曲线2c（c=22ba）2a、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a椭圆0e1,双曲线e1注：双曲线12222byax渐近线xaby方程122nymx表示椭圆nmnm.0,0方程122nymx表示双曲线0mn抛物线y2=2px(p0)顶点（原点）对称轴（x轴）开口（向右）范围x0离心率e=1焦点)0,