第四章 日常生活中的数学模型 - 实验教学示范中心

第四章日常生活中的数学模型§4.2铅球投掷的模型铅球的投掷•一.背景、问题：•投掷园Ø7呎=2.135m，有效扇形450，•坻趾板10×10cm,铅球重16磅=7.264kg。•运动员单手托住铅球，在投掷园内将铅球掷出并使铅球落入有效区内。•以铅球落地点与投掷园间的距离度量铅球投掷的远度。•以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。•问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？•二.模型与分析：•1.抛射体模型：铅球出手后的运动过程•假设：1.铅球是个质点。•2.忽略空气阻力。•3.出手角度与出手速度无关。•变量、参量：•出手角度α，出手高度h，出手速度v，•出手时间t，投掷远度s。•坐标系：（x，y）•铅球运动的轨迹为(x(t),y(t)).•平衡关系：力与运动的牛顿定律有解cos)0(,0)0(,022vxxdtxdhxvgxxy)(tancos2)(222hgttvtytvtx221)sin()()cos()(sin)0(,)0(,22vyhygdtyd•模型:•铅球投掷的远度为抛物线与x轴交点的横坐标•检验:•姓名v(m/s)h(m)α(0)s(m)实测•李梅素13.751.9037.6020.6820.95•李梅素13.522.0038.9620.2220.30斯卢皮13.772.0640.0021.2521.41gvhgvgvs22222cos2)22sin(22sin•分析:•1.最佳出手角度:求函数s(α)的极大值点•满足方程•化简可得•给定出手高度,最佳出手角度随出手速度增大而增大。•给定出手速度，最佳出手角度随出手高度增大而减小。02sin22cos2sincos82sin2cos22224ghvhgvvhvggvghgh/2cos220450•2.最佳投掷模式•给定出手高度h、出手速度v从而可以计算最佳出手角度α。这三个量就构成最佳的铅球投掷模式。h\v101112131414.5151.940.4841.1641.7142.1542.5142.7642.80•11.9514.1116.4819.0521.8123.2724.782.040.2840.9941.5542.0142.3942.5542.70•12.0314.2016.5719.1421.9023.3624.872.140.0840.8241.4041.8842.2742.4442.59•12.1214.2916.6519.2922.0023.4624.97•3.主要因素分析—模型的参数灵敏度分析•参数变化对模型值的影响。•模型对参数变化率的分析。•模型对参数的极差分析：比较参数在可能的变化范围内变化时模型值改变量的极差。•373839404142431011.8911.9211.9411.9511.9511.9411.920.06•1114.0114.0514.0914.1114.1214.1214.100.11•1216.3116.3816.4316.4616.4816.4816.470.17•1318.8018.8918.9619.0119.0419.0519.040.25•1421.4821.5921.6821.7521.7921.8121.820.34•1524.3624.4924.6024.6824.7424.7824.780.42•12.4712.5712.6612.7312.7912.8412.86•出手速度：12.47~12.89•出手角度：0.06~0.42•出手高度：0.16~0.22•模型s(v,h,α)在点(v0,h0,α0)•关于参数v,h,α的灵敏度。•S(s,v)=(Δs/Δv)0(v0/s0)•关于α在α0=400处，对不同的v有•00.030.050.060.070.09•关于v在v=12处，对不同的α有•1.831.841.911.861.861.871.87•结论：•1.出手速度最重要。•2.出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要的.•但在最佳出手角度上下20范围内远度的变化很小。不必过分准确。•3.在前面的基础上，尽量提高出手的高度分析问题：1.李梅素的数据h=1.9m,a=37.60,v=13.75m/s,s=20.68ma=42.40，s=20.95mh=2.0m,a=39.70,v=13.52m/s，s=20.22a=42.40s=20.30m出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度，但投掷的远度减小了。出手的速度随着出手角度的增加减小了！•2.铅球的投掷不是简单的抛射体。•出手速度、出手角度和出手高度是不独立的。•是运动员投掷铅球过程中用力过程的综合的结果。•需要组建铅球投掷的模型。•2.铅球投掷模型•假设：•1.滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平的初速度。•2.在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间。•3.在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变，力的方向与铅球出手方向相同。•参量:v0初速度,t0用力时间,F推力,m铅球质量。•发力期间平衡关系：•模型•令t=0时开始用力，t=t0铅球出手。在区间[0，t0]积分模型，可得•由此可得铅球的出手速度mgFtymFtxmsin)(,cos)(000000sin)(,cos)(gttmFtyvtmFtx.0)0(,)0(0yvxcos2)sin2()sin()cos()()(0020202222002002020vtmFvtgmFgmFgttmFvtmFtytxv•检验:•αvhs•李梅素40.2713.162.2019.40•隋新梅39.0013.952.0421.66•李梅素38.6913.512.0020.30•黄志红37.7513.582.0220.76•李梅素37.6013.751.9020.95•李梅素35.1314.081.9521.76•分析:•1.v随着F和t0的增加而增大;•2.v随着v0的增加而增大;•3.v随着a的增加而减小.•女子铅球的技术特征:•滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低而快地直顶抵趾板下沿，推髋侧移，使铅球低而远地远离出手点；最后用力阶段突出向前性。cos2)sin2(002020222vtmFvtgmFgmFv•问题：组建完整的铅球投掷的数学模型（包括出手速度、出手高度的形成），并进行分析讨论。§5.3湖水的污染•一.问题与背景：问题：建模描述湖泊污染的状况。•背景：•湖泊:提供水源,水产养殖,交通运输,休闲旅游.•承受容纳生活垃圾,工业排出物等污染物质.•形成磷酸盐污染,杀虫剂污染和重金属污染.•湖泊污染的特征:•水体覆盖面积大,污染源复杂,不易控制.•水体流动性差,不利于水体的更新和自净.•二.假设:•10.污染物同质,以污染物的含量标志污染的状况.•20.单流入,单流出,流速不变.•30.变化充分光滑.•40.湖水体积定常.•50.不考虑水体自净问题和其他因素的作用•三.建模•物理模型:池水含盐问题•数学模型:•湖水体积：V，湖水浓度：P(t)，•流入速度：r，流入浓度：PI(t),•流出速度:r,流出浓度：P(t).•则有•为湖水保留时间.)(PPrdtdPVI)(tPPdtdPIrV/•四.分析:•1.情形I:自由倾倒PI=K,P(0)=Ps.•解得利用初始条件,得••10.PsK时,P(t)增加,PsK时,P(t)减少。•称K为饱和污染状况。•20.称为湖水在时刻t的污染水平。•不难得到当时，为饱和•水平；为超饱和状态，P(t)将会下降。KcetPt/)(KeKPtPts/)()(KtPt)(limKtPt/)()(1)(/tseKKPt11•30.令Ps=0（一池清水），则t时刻的污染水平为•给定，记为达到β水平污染的时间，•则有•当β=½时，有•对于密执安湖，有T1/2=21年。•对于苏比利尔湖，有T1/2=132年。•一般来说，对于Ps=K,若给定•则有/1/)()(teKtPt1T)1ln(T7.0)2(ln2/1T1/KPSs11lnST•40.如果K=0且Ps0,则••将递减并且趋于零.•令,它表示污染状况相对降低的强度.•则不难看出•给出了污染水平降低到初始状态的α倍时所用的时间.取α=1/2,则有.•由此可知,在完全断绝污染物流入的前提下,湖泊污染状况缓解一半所用的时间是湖水保留时间的0.7倍./)(tSePtPPstPt/)()()(ln))(/ln(ttpPTS7.02/1T•2.情形II.控制污染：PI(t)=K0e-αt.•流入的污染物逐年降低,污染状况以强度α逐年得到控制.•模型:•令P(0)=K0,则模型有解•由此不难证明，当时，P(t)是的减函数，而且有。它表明只要控制污的强度足够大湖水的污染程度将会不断得到改善。teKtPdtdP0)(tttteeKeeKtP)1(1)(1)(/)1(0/0/10)(limtPt•3.情形III混合情形：在初期，湖泊属于自由污染阶段，当湖水被污染到一定的水平，将对污染源加强管理和控制，降低排污量。•模型：如果在初期我们有Ps=0，PI=K1，则湖水将在达到β水平的污染，即有。此后对污染源加强管理，将排污量降低为则有如下的输入函数•模型有解)1)(1ln(t1)(KtP12)(KKtPI0,,,)(21SIPttKttKtPttKeKKtteKtPttt,)(,)1()(2/)(21/1•五.讨论•1.蒸发与渗漏：输出正比于湖水体积ro=kv(t),模型中有输出项Ap(t)V(t)•2.离散动态:有差分方程•pk+1=(1-1/τ)pk+PI/τ•3.污染物的影响：DDT：被动物吸收，溶解与脂肪中，有机磷：引起水藻激增，贮存于水藻体内。•4.混和过程：浓度是空间点的函数。•问题：•P143第4题：•伊利湖和安大略湖的污染。路灯照明•§4.5路灯照明的数学模型路灯照明•一.问题、背景：•1.问题：两盏路灯照明一条水平的道路。建模分析两盏灯之间照明的情况，给出这两盏灯的最优设计。路灯照明•2.背景：•光强度：光源在一定方向范围内发出可见光辐射强弱的物理量。以光源在某一方向上单位立体角内所辐射的能量（坎德拉cd）来度量。•立体角：一个锥面所围成的空间部分，它以以锥顶为心的单位球面被锥面所截的面积的面积来度量。•光通量：人眼所能感觉的光辐射的功率。单位时间光辐射的能量和相对视见率的乘积：流明Lm。•照度：单位面积上得到的光通量：勒克司Lx。路灯照明•照度定律：点光源O与被照明平面中心A的距离为h时，平面上A点的照度E=(I/h2)cosa,其中，I为O点的光强度，a为平面的法线方向与光源到A点连线之间的夹角。路灯照明•二.模型•1.假设：•10.灯为点光源，•20.没有反射，•30.忽略灯具的效率和发光效率。•2.参量、变量：•Pk：光强度，hk：光源高度，s：两灯的水平距离。•坐标系（x，y）：灯杆1为y轴，路为x轴。•两个光源的位置：G1:(0,h1),G2:(s,h2);•两灯间路面上一点:X:(x,0),0≤x≤s;•ak:GkX与x轴的夹角.路灯照明•3.模型•G1在X点的照度•G2在X点的照度•G1,G2在X点的照度22222222222222)(sin,)(,sinxshhxshrrPE2/3222222/32211121))(()()(xshhPxhhPEExE2211122111211sin,,sin1xhhxhrrPE路灯照明•4.分析•10.照明的状况.•G