椭球面上的几种弧长计算和大地线

本节主要内容•4.4椭球面上的弧长计算1.子午线弧长计算公式2.由子午弧长求大地纬度3.平行圈弧长公式4.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较•4.5大地线1.相对法截线2.大地线的定义和性质3.大地线的微分方程和克莱劳方程4.4椭球面上的弧长计算1.子午线弧长计算公式将克拉索夫斯基椭球元素代入:将1975年国际椭球元素代入：说明：⑴B=90o代入，一个象限内约为10000km地球周长约为40000kmBBBdBBeeadBWeaMdBXMdBdx0232220320)sin1()1()1(BBBBXo6sin022.04sin828.162sin480.16036861.111134BBBBXo6sin022.04sin833.162sin528.16038005.111133OBP1P2dxdBMPP'子午线弧长计算公式特点•子午线弧长计算公式是不可积分的，只能以级数展开才能计算。•子午线弧长计算公式有三个公式，是级数按正弦和余弦展开的结果。•子午线弧长计算公式中的系数特点32)1(WeaMBecVcM222cos'18642086420mmmmmaaaaa、、、、、、、、以2个数量级变小？•子午线弧长计算公式与对应椭球对应，不同的椭球有不同的公式。计算子午线弧长的意义：•大地测量正算和反算。•高斯反算。•每秒纬度变化，引起子午线弧长的变化约30米。子午线弧长公式用到SIN6B弧长精度为1毫米，用到SIN8B弧长精度为0.01毫米⑵子午线上纬度为，间的弧长⑶弧长较短（40km）2.由子午弧长求大地纬度在高斯投影坐标反算公式中要用到。包括迭代解法和直接解法两种方法。⑴迭代解法（以克拉索夫斯基椭球为例）2211XBXB12XXX)(21221BBMXMBBBmmm，计算由1B2B8611.111134/1XBf8611.111134/))((1ififBFXBififififBBBBF6sin0220.04sin8281.162sin4803.16036)(ififBB1直到为止⑵直接解法（以1975年国际椭球为例）3.平行圈弧长公式（大地线微分方程要用）说明：纬度不同，相同的经差平行圈弧长不同。4.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午圈弧长：B↗，单位纬度差的子午线弧长↗平行圈弧长：B↗，单位经度差的平行圈弧长↘lBNSLLlBWaBNxrcoscoscos126sin10447.74sin10701007.32sin10518828475.2963fB133.6367452/X（弧度）4.5大地线•相对法截线•大地线定义•大地线性质特点•大地线微分方程4.5大地线1.相对法截线首先证明：和不重合由，得若若A、B两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点有两条法截线。说明：⑴相对法截线A照准B：AaB叫A点的正法截线，B点的反法截线；B照准A：BbA叫B点的正法截线，A点的反法截线。⑵相对法截线的位置BbA比AaB偏上。anbn222121sinsinBeNOnBeNOnba2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa2NeQnbaOnOnBB，21，，abOnOnBB12OABabQ1Q2nanbB1B2正反法截线的位置如课本图4-18所示⑶当A、B两点位于同一子午圈或平行圈时，正反法截线合二为一。⑷椭球面上A、B、C三点构不成三角形。（产生了矛盾）2.大地线的定义和性质—定义：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。—性质：—说明：⑴其长度与法截线长度相差为百万分之一毫米；⑵地面观测值归算成大地线的方向，距离。⑴大地线是一条空间曲线；⑵大地线惟一，位于相对法截线之间。31ABBAC大地线性质1.大地线是椭球面上两点最短距离；2.大地线方向靠近正法截线。形状为拉长的S，方向占相对法截线夹角的三分之一。3.大地线的微分方程和克莱劳方程dSBNAdLAdSdLBNcossinsincosdSMAdBAdSdBMcoscospp1AdAdSdLp2ANp3900-B-dB⑴大地线的微分方程描述p到p1时，dS与dA、dL、dB之间的关系在微分直角三角形pp2p1中在球面直角三角形p1p3N中，dA，dL，dB均为微分量，即)sin(sinsin)]90(90sin[sin)90cos(dBBdLdAdBBdLdAooo即dSBNABdLdABdBBdLdLdAdAtansinsinsin)sin(sinsin大地线微分方程dSMAdBcosdSBNAdLcossindSBNAdAtansin⑵克莱劳方程BNBdBMAAAdBMBNBAdAcossincossincoscossinsindBBMdrBNrsin,cosrdrdAAcot克莱劳定理：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。说明：⑴⑵CArCrAsinlnlnsinlnC也叫大地线常数00AAarBo，，0sinAaCoA900090sinrrCo小结•子午线弧长，平行圈弧长。•大地线的定义和性质。•相对法截线的概念。•了解大地线微分方程和克莱劳定理。作业与思考•简述大地线的定义和性质。•相对法截线的概念。•子午线弧长计算公式。