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和等于常数2a的点的轨迹是什么?平面内与两定点F1、F2的距离的122||aFF122||aFF122||aFF椭圆线段没有轨迹差122||aFF1F2FM没有轨迹122||aFF一条射线122||aFF①如图(A),|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B),|MF2|-|MF1|=2a上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支。定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹叫做双曲线.(小于︱F1F2︱)的绝对值①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.F2F1MxOy求曲线方程的步骤:双曲线的标准方程1.建系.以F1,F2所在的直线为x轴,线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系2.设点.设M(x,y),则F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=±2a4.化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0,0(12222babyax此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程F1F2oxy双曲线的标准方程方程形式:位置特征:焦点在x轴上焦点坐标222,,0)cababc(22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxababF1F2oxy122MFMFa焦点在y轴上数量特征:F2F1MxOyOMF2F1xy(0,0)ab双曲线的标准方程思考:能否根据标准方程判断焦点的位置?由方程定焦点:椭圆看大小双曲线看符号222bac定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a(02a|F1F2|)F(±c,0)F(0,±c)12222byax12222bxayyxoF2F1MxyF2F1M双曲线定义及标准方程221916xy例1:已知F1(-5,0),F2(5,0),动点P到F1、F2的距离之差的绝对值为6,求点P的轨迹方程.221(0)916xyx两条射线轨迹不存在1、若|PF1|-|PF2|=6呢?3、若||PF1|-|PF2||=12呢?2、若||PF1|-|PF2||=10呢?注意没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支练1:化简方程设:12(,),(0,3),(0,3)PxyFF12||||4PFPF6点的轨迹为双曲线的上支P3,2ca又焦点在y轴上,所以:0y()(1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆P与C1内切,与C2外切,求圆心P的轨迹方程.练习2:(2)已知两圆C1:(x-8)2+y2=25,C2:(x+8)2+y2=1,动圆P与其中一圆内切,与另一圆外切,求圆心P的轨迹方程.221955xy22+16448xy练3:已知双曲线上一点P到双曲线的一个焦点的距离为9,则它到另一个焦点的距离为.3或15思考:若把距离9改为3,则现在有几解?例2:求适合下列条件的双曲线的标准方程。(1)4,5ac焦点在轴上y思考:要求双曲线的标准方程需要几个条件(3)已知椭圆的方程为,求以此椭圆的顶点为焦点、焦点为顶点的双曲线的标准方程.116y9x224a经过点)17,1(A(2)例3:如果方程表示焦点在y轴的双曲线,求m的取值范围.变式一:方程表示双曲线时,则m的取值范围变式二:表示焦点在y轴的双曲线时,求m的范围。思考探究过双曲线的左焦点F1的弦AB的长为6,则△ABF2(F2是右焦点)的周长是1、双曲线及其焦点,焦距的定义,双曲线的标准方程以及方程中的a,b,c之间的关系小结:2、怎样的双曲线其方程是标准方程;标准方程表示的双曲线的特征3、焦点位置的确定方法4、求双曲线标准方程关键(定位,定量)练习:根据下列条件,求双曲线的标准方程:1、过点P(3,)、Q(,5)且焦点在坐标轴上;2、c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上;3、与双曲线有相同焦点,且经过点(3,2)41531662141622yx22(1)1916yx15)2(22yx1812)3(22yx例4:一炮弹在某处爆炸。在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340m/s.问爆炸点应在什么样的曲线上?并求出轨迹方程。BAMxOy以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立如图的直角坐标系2800,2680ca22244400bca•解:设点P为爆炸点,则•|PA|-|PB|=340×2=680800•∴因此爆炸点P应位于以A,B为焦点且靠近B点的双曲线的一支上。定义方程焦点a.b.c的关系x2a2-y2b2=1x2y2a2+b2=1F(±c,0)F(±c,0)a0,b0,a,b大小不确定,c2=a2+b2ab0,a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系:||MF1|-|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2ax2a2+y2b2=1椭圆双曲线y2x2a2-b2=1F(0,±c)F(0,±c)
本文标题:双曲线的定义及其标准方程(新)
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