双曲线知识点总结

双曲线知识点指导教师：郑军一、双曲线的定义：1.第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（21212FFaPFPF（a为常数））新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|.当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.2.第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆二、双曲线的标准方程：12222byax（a＞0，b＞0）(焦点在x轴上)；12222bxay（a＞0，b＞0）(焦点在y轴上)；1.如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上.a不一定大于b.2.与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax3.双曲线方程也可设为：221(0)xymnmn例题：已知双曲线C和椭圆221169xy有相同的焦点，且过(3,4)P点，求双曲线C的轨迹方程。三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系：1点与双曲线：点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab上220022-=1xyab2直线与双曲线：（代数法）设直线:lykxm，双曲线)0,0(12222babyax联立解得02)(222222222bamamkxaxkab1)0m时，bbkaa直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；bka，bka，或k不存在时直线与双曲线没有交点；2)0m时，k存在时，若0222kababk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220bak，222222222(2)4()()amkbakamab2222224()abmbak0时，22220mbak，直线与双曲线相交于两点；0时，22220mbak，直线与双曲线相离，没有交点；0时22220mbak，2222mbka直线与双曲线有一个交点；若k不存在，ama时，直线与双曲线没有交点；mama或直线与双曲线相交于两点；3.过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:lykxm过定点00(,)Pxy，双曲线)0,0(12222babyax1).当点00(,)Pxy在双曲线内部时：bbkaa，直线与双曲线两支各有一个交点；abk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；bka或bka或k不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)Pxy在双曲线上时：bka或2020bxkay，直线与双曲线只交于点00(,)Pxy；bbkaa直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；2020bxkay（00y）或2020bxbkaay（00y）或bka或k不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y时，bka或k不存在，直线与双曲线只交于点00(,)Pxy；bka或bka时直线与双曲线的一支有两个交点；bbkaa直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；3).当点00(,)Pxy在双曲线外部时：当0,0P时，bbkaa，直线与双曲线两支各有一个交点；bka或bka或k不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m时，222mbka时，过点00(,)Pxy的直线与双曲线相切bka时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P的直线l和双曲线22:14yCx，仅有一个公共点，求直线l的方程。四、双曲线与渐近线的关系：1.若双曲线方程为22221(0,0)xyabab渐近线方程：22220xyabxaby2.若双曲线方程为12222bxay（a＞0，b＞0）渐近线方程：22220yxabayxb3.若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax,0.4.若双曲线与12222byax有公共渐近线则双曲线的方程可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）五、双曲线与切线方程：1.双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.2.过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab.3.双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc.六、双曲线的性质：双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。范围xa，yRya，xR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2(,0)Fc1(0,)Fc2(0,)Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122FFc顶点坐标（a,0）(a,0)(0,a,)(0，a)离心率eace(1)，222cab，e越大则双曲线开口的开阔度越大准线方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22顶点到准线的距离顶点1A（2A）到准线1l（2l）的距离为caa2xyP1F2FxyxyP1F2FxyxyP1F2FxyPxyP1F2FxyP顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2焦点到准线的距离焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为22abccc焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2渐近线方程xaby(实虚)yabx(实虚)共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）直线和双曲线的位置双曲线12222byax与直线ykxb的位置关系：利用22221xyabykxb转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长2212121()4ABkxxxx通径：21AByy过双曲线上一点的切线12020byyaxx或利用导数00221yyxxab或利用导数七、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则221212()()ABxxyy22221212121141||ABkxxkxxxxka，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则21212122211114AByyyyyykk。通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长abAB22||。若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy。特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，例：直线1xy与双曲线13222yx相交于BA,两点，则AB=_____________八、焦半径公式：双曲线12222byax（a＞0，b＞0）上有一动点00(,)Mxy当00(,)Mxy在左支上时10||MFexa,20||MFexa当00(,)Mxy在右支上时10||MFexa,20||MFexa注：焦半径公式是关于0x的一次函数，具有单调性，当00(,)Mxy在左支端点时1||MFca，2||MFca，当00(,)Mxy在左支端点时1||MFca，2||MFca九、等轴双曲线：12222byax（a＞0，b＞0）当ab时称双曲线为等轴双曲线；则：1.ab；2.离心率2e；3.两渐近线互相垂直，分别为y=x；4.等轴双曲线的方程22yx，0；5.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。十、共轭双曲线：1.定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．2.方程：3.性质：共轭双曲线有共同的渐近线；共轭双曲线的四个焦点共圆．它们的离心率的倒数的平方和等于1。1-2222byax（a0;b0）的焦点为1F与2F，且p为曲线上任意一点，221PFF。则21FPF的面积cot2bS焦点三角形面积公式：)(,2cot21221PFFbSPFF双曲线1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab.6.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.7.双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一8.点12FPF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2FPFSbco.9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xx