演示文稿30(第8章(6))

1《自动控制理论基础》第三十讲28-7线性定常系统的能控性和能观测性一、引言能控性和能观性是最优控制和最优估计的设计基础，回答了系统是否存在最优控制、最优估计的解的问题。能控性和能观性判别仅是一种定性的分析，它指出了解是否存在，而并不涉及如何找到这个解的问题。3二、线性定常连续系统的能控性1、能控性定义：对于系统：，若存在一个，在有限的时间间隔内，能使系统从初始状态转移到任一终端状态，则称该系统状态是能控的；如果每一个状态都能控，那么这个系统便是状态完全能控的。简称系统是能控的。x=Ax+Bu()tu0fttt0()tx()ftx例：设系统为：411020uxx4系统状态图如下所示：2x1x24yu显然，u仅能对x1起作用，而对x2不起作用，故系统是不能控的。2、能控性判据之一线性定常系统：xAx+Bu5其状态完全能控的充分必要条件是由A、B所构成的能控性判别矩阵：2-1...ncQ=BABABAB满秩，即cranknQ其中：n是系统状态向量的维数。例1：判定如下系统的能控性。01133424xxu6解：n=2、r=2有:132424117cQBAB2()rankncQ故系统是能控的。注意：()TcccrankrankQQQ故可判断：det()TccQQ是否等于零,来确定是否满秩。7例2：判定如下系统的能控性。122002001331uxx解：n=3、r=1有20280001311cQBABAB8显然：2()cranknQ故系统是不能控的。3、能控性判据之二(1)、系统特征值互异的情况：若线性定常系统：,具有n个互不相同的特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的状态方程式：xAx+BuxAxBu9中，阵不包括元素全为零的行。B其中：1...(.)nDiag0A0例1：判定如下系统的能控性。700000504000175xxu101b0故系统状态不可控。注意特征值互异的条件，否则只能使用判据一。(2)、系统具有重特征值的情况：若线性定常系统：,具有重特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：xAx+Bu111~~~...kJ0xxBu0J中，每一个Jordan块Ji（i=1、2、…k）的最后一行,所对应的B阵中相应各行的元素不全为零。例2：判定如下系统的能控性。410(1)042uxx系统是能控的。12系统是能控的。410000040001(2)003100000320xxu13故系统是不能控的。注意每个重特征值只对应一个独立的特征向量的条件，否则只能使用判据一。410001040000(3)003120000302xxu14三、线性定常连续系统的输出能控性1、输出能控性定义：设系统的状态空间表达式为：xAx+Buy=Cx+Du若对系统存在一个控制矢量,在有限的时间间隔内,能将任一给定的初始输出转移到任一指定的终端输出则称系统是输出完全能控的。(,,,)ABCD(,,,)ABCDu0()ty()fty0()ftt152、系统输出能控性判据系统输出完全能控的充分必要条件是其输出能控性判别矩阵：(,,,)ABCD1......ncoQCBCABCABD的秩为m。即corankmQ其中：m是系统输出向量的维数。例1：已知系统的各矩阵为16试判断系统的输出能控性。01110121ABC0D110coQCBCABD1corankmQ故系统是输出能控的。17四、线性定常连续系统的能观性1、能观性定义：若在有限的时间间隔内，通过对系统输出的观测,能唯一地确定系统的初始状态，则称该系统状态是能观测的；如果每一个状态都能观测，那么这个系统便是状态完全能观测的。简称系统是能观的。()ty0fttt0()tx0()tx说明：能观性判断与输入无直接关系，故分析能观性问题时，可以仅考虑齐次方程和输出方程；18定义中规定是对初始状态的观测，但由解的形式，就可以确定任何状态。()tx例：设系统为：20101110uxxyx2x1x12yu显然系统不能观。192、能观性判据之一线性定常系统：xAx+Buy=Cx其状态完全能观测的充分必要条件是由C、A所构成的能观性判别矩阵：-1onCCAQ=..CA20满秩，即oranknQ其中：n是系统状态向量的维数。例1：判定如下系统的能观性。45110111uxxyx解：n=2，m=1，故2111155orankranknCQCA故系统是不能观测的.（detQo=0）例2：判定如下系统的能观性。2111013110uxxyx解：n=2，m=2，故2210102121oCQ=CA10442TooQQdet0TooQQ2oranknQ故系统是能观测的。3、能观性判据之二23(1)、系统特征值互异的情况：若x=Axy=Cx^x=Px^^^^^x=Axy=Cx其状态完全能观测的充要条件是中不含元素全为零的列。^C例1：判定如下系统的能观性。24100020320003xxyx故系统是不能观测的。103037uxx例2：判定如下系统的能观性。25001110uyx故系统是能观测的。注意特征值互异的条件，否则只能使用判据一。(2)、系统具有重特征值的情况：若x=Axy=Cx~x=Qx~~~~~x=Axy=Cx26其状态完全能观测的充要条件是中每一个约当块的首行所对应于中的那些列，其元素不全为零。~A~C注意每个重特征值只对应一个独立的特征向量的条件，否则只能使用判据一。310030103003xxyxn=3，r=3，独立特征向量为2，故不能使用判据二。(rankQon,系统不能观)例1：27例2：判定如下系统的能观性。故系统是不能观测的。1110101101yx1100001100001000002100002xx288-8对偶原理对偶原理揭示了能控性与能观性之间的内在联系。一、对偶原理：设有线性定常系统：111111:x=Ax+Buy=Cx其互为对偶的系统为：29222222:TTTx=Ax+Cuy=Bx则：系统状态完全能控（状态完全能观）的充要条件是其对偶系统状态完全能观测（状态完全能控）。1230说明：（1）对偶原理说明了一个系统的能控性（能观性）可以借助其对偶系统的能观性（能控性）来研究，反之亦然；（2）对偶系统的传递函数阵是互为转置的；而对偶系统的特征方程是相同的。二、能控性和能观性与传递函数中零极点对消的关系：定理（SISO系统）：31对一个单输入/单输出线性定常系统，其传递函数若有零、极点对消的情况，则视状态变量的不同选择，将是不能控或者是不能观的；若没有零极点对消的情况，则系统总能用一组动态方程表示为能控又能观的。例：设系统的传递函数为32()7148saGssss问当a为多大时，系统将是不能控或者不能观测的。32解：32()7148(1)(2)(4)sasaGsssssss故124aoraora当时系统将出现零、极点对消的情况，则视状态的选取，系统的动态方程将是不能控或不能观的。338.6习题:18(1),(3);19;20(2),(4)34再见