正弦定理余弦定理练习题

第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°2．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为()A．9B．18C．93D．1833．已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，则A∶B∶C等于()A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1∶3∶2D．3∶1∶24．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，则k的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(-∞，0)C．(-21，0)D．(21，＋∞)5．在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________．2．在△ABC中，若b＝2csinB，则∠C＝________．3．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．4．已知△ABC的面积为23，且b＝2，c＝3，则∠A＝________．5．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，a＝2(3＋1)，那么△ABC的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC中，已知a2-a＝2(b＋c)，a＋2b＝2c-3，若sinC∶sinA＝4∶13，求a，b，c．3．在△ABC中，求证2tan2tanBABAbaba．4．△ABC中，A、B、C成等差数列，b＝1，求证：1＜a＋c≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D分析：由正弦定理得，BbAasinsin，∴sinB＝23sinaAb，∴∠B＝60°或∠B＝120°．2．C分析：∵∠A＝30°，∠B＝120°，∴∠C＝30°，∴BA＝BC＝6，∴S△ABC＝21×BA×BC×sinB＝21×6×6×23＝93．3．A分析：由正弦定理得，CcBbAasinsinsin，∴sinA∶sinB∶sinC＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A∶B∶C＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C分析：A＞Ba＞b2RsinA＞2RsinBsinA＞sinB．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sinC＝23230sin32，于是，∠C＝60°或120°，故∠A＝90°或30°，由S△ABC＝21×AB×AC×sinA，可得S△ABC＝23或S△ABC＝3．2．30°或150°分析：由b＝2csinB及正弦定理CcBBcCcBbsinsinsin2sinsin得，∴sinC＝21，∴∠C＝30°或150°．3．22分析：∵c＝2RsinC，∴R＝22sin2Cc．4．60°或120°分析：∵S△ABC＝21bcsinA，∴23＝21×2×3sinA，∴sinA＝23，∴∠A＝60°或120°．5．6＋23分析：∵BbAasinsin，∴45sin)6045180sin()13(2b，∴b＝4．∴S△ABC＝21absinC＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a＋b＝16，∴b＝16-aS＝21absinC＝21a(16-a)sin60°＝43(16a-a2)＝-43(a-8)2＋163（0＜a＜16)(2)由(1)知，当a＝8时，S有最大值163．2．解：∵sinC∶sinA＝4∶13∴c∶a＝4∶13设c＝4k，a＝13k，则38213)4(213132kbkkbkk由①、②消去2b，得13k2-16k＋3＝0③解得k＝133或k＝1，∵k＝133时b＜0，故舍去．∴k＝1，此时a＝13，b＝2135，c＝4．3．证明：由正弦定理，知a＝2RsinA，b＝2RsinB2tan2tan2cos2sin22cos2sin2)22sin()22sin()22sin()22sin(sinsinsinsinsin2sin2sin2sin2BABABABABABABABABABABABABABABABABRARBRARbaba4．证明：∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝3，A＋C＝32．∵b＝1，设△ABC的外接圆半径为R，∴b＝2Rsin3∴1＝2R·23，∴3R＝1．∴a＋c＝2RsinA＋2RsinC＝2R(sinA＋sinC)＝2R［sin(32-C)＋sinC］＝2R(23cosC＋23sinC)＝23R(21cosC＋23sinC)＝23Rsin(C＋6)＝2sin(C＋6)∵A＋C＝32，∴0＜C＜32∴6＜C＋6＜65∴21＜sin(C＋6)≤1∴1＜2sin(C＋6)≤2∴1＜a＋c≤2．5．证明：在△ABC中，设C≥120°，则c最长，令最短边为a，由正弦定理得ABAACacsin)sin(sinsin∵A≤B∴2A≤A＋B≤180°-C≤60°∵正弦函数在(0，3)上是增函数，∴sin(A＋B)≥sin2A＞0∴ABAacsin)sin(≥AAAAAsincossin2sin2sin＝2cosA∴ac≥2cosA∵2A≤60°∴0°＜A≤30°∴cosA≥cos30°＝23∴ac≥2·23∴ac≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC中，已知角04345,22,,3Bcb则角A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC中，bsinAab,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sincoscos,ABCABCabc则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC中，已知0060,45,8,BCBCADBC于D,则AD长为（）A.4(31)B.4(3+1)C.4(3+3)D.4(33)5．在ABC中，AB是sinAsinB的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC中，060,76,14Bba，则A=7．在ABCABC中，已知cos2cos21sin2sincos,cossinBCABCCB求证：b=c且A=900。8，已知ΔABC中，2B=A+C，且ABC，又tanA和tanC为方程2323(1)xxx的两个根，且33ABCS，求ΔABC的三个角和三条边。答案与详解：1．D，正弦定理将0060120sinsinbcCBC或∴A=750或1502．B，见研析1。3．C，由正弦定理及已知条件对比发现sinB=cosB,sinC=cosC,故B=C=450，A=900。4．D，由已知A=750，再由正弦定理易求AB的长，在RTΔABD中AD=ABsin600可得。5．C，在ΔABC中，2sin2sinsinsinABabRARBAB。6．45°，由正弦定理得sinA=22,∴A=450或1350，又B=600，故A=450。7．证明：∵cos2B+cos2C=1+cos2A,∴cos2B+cos2C-2=cos2A-1,∴sin2B+sin2C=sin2A,即b2+c2=a2∴ΔABC为RtΔ且A=900，又sinA=2sinBcosC,cosC=sinB,∴2sin2B=1,sinB=22,∴B=450,C=450,∴b=c,且A=900.8，∵2B=A+C∴B=600∵tanA和tanC为方程2323(1)xxx的两个根∴tanA=1，tanC=2+3,所以A=450，C=750.因为33ABCS，所以1sin332abB,即4(31)ac(1).由正弦定理sinsinacAC所以(31)ac.(2)联立(1)(2)4(31)(31)acac解得:2(31)2ac再由正弦定理得:sin326sinaBbA.第三套正弦定理、余弦定理●作业导航能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是()A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则BCAB的值为()A．79B．69C．5D．-53．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则CBAcbasinsinsin等于()A．33B．3392C．338D．2394．在△ABC中，已知a＝xcm，b＝2cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A．2＜x＜22B．2＜x≤22C．x＞2D．x＜25．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是()A．135xB．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜5二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC的面积为3，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．2．化简a·cosA＋b·cosB-c·cos(A-B)的结果是________．3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝4222cba，则角C＝________．5．在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB-AC|＝________；|AB＋AC|＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．3．在△ABC中，cos210922ccbA，c＝5，求△ABC的内切圆半径．4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cosAcosB，则外心位于△ABC的外部．5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sinB．(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C分析：A中bsinC＞c，无解；B中csinB＜b＜c，有两解；C中asinB＜a＜b，有一解；D中bsinA＜a＜b，有两解．2．D分析：∵AB·BC＝-BA·BC，∵BA·BC＝|BA||BC|cosB＝21(|BA|2＋|BC|2-|AC|2)＝21(52＋72-82)＝5∴AB·BC＝-BA·BC＝-53．B分析：∵S△ABC＝21×1×c×sin60°＝3，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2-2bccosA＝13∴R＝339sin2Aa∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC∴33922sinsinsinRCBAcba4．A分析：若解此三