附录1 截面图形的几何性质概况

121.1静矩和形心附录1截面的几何性质1.4惯性矩、惯性积的转轴公式1.2惯性矩、惯性积和惯性半径1.3惯性矩、惯性积的平行移轴公式31.1静矩和形心一、截面的静矩(staticmoment)ddxSAyddySAxddddxxAAyyAASSyASSxANmaxmaxmaxPP;;FTTAGIW4二、形心(centriodofanarea）¯y¯x等于形心坐标AAAtmr均质SydAdAytydm¯ASAxdAAtdAxtmxdm¯xAAmyAAmrrr:质心等厚均质等厚xyASyASxxyyASxASxy坐标轴通过形心静矩等于零5AAyyAAxxiiii:累加式iiixxiiiyyyASyASxASxAS当截面由若干个简单图形组成（如矩形、圆形），则有：yx6212121AAAxAxAAxxii例I-1-1试确定下图的形心。xy解：组合图形，用正负面积法解之。1、用正面积法求解，图形分割及坐标如图（a）3.2010801101011010357.341080110101101060yC1（0，0）C2（-35，60）图（a）C2C17C12、用负面积法求解，图形分割及坐标如图（b）3.201107080120)11070(5图（b）负面积C2xyC1C1（0，0）C2（5，5）212121AAAxAxAAxxii212121AAAyAyAAyyii3.201107080120)11070(58练习：求Sx、Sy，并求形心位置。2121121)2(2dhhhbhhSSSxxx0.AxSyASyxx0xybh1h2d91.2惯性矩、惯性积和惯性半径一、惯性矩(momentofinertia)：（类似于转动惯量）22ddxAyAIyAIxA二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。2dPxyAIAIIr三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。dxyAIxyA如果x或y是对称轴，则：Ixy=010例：求圆形截面对圆心的极惯性矩Ip，惯性矩Ix、Iy，惯性积Ixy。xyo324dIpxyxpIIII2644dIIyx由于对称性dxyAIxyAdA0xyI11例2-1求矩形截面的惯性矩Ix、Iy，惯性积。xyIdyy2h2h2b2byx解：平行X轴取一窄长条，则32222dd12hhxAbhIyAyby同理，可得：123hbIy又因x、y轴皆为对称轴，故0xyI121.3惯性矩、惯性积的平行移轴公式一、平行移轴公式（类似于转动惯量的平行移轴定理）ccybyxax以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图abxcycCAbbSIAbbyyAybAyICCxxCACACAx222222d)2(d)(d0CxyASCAbIICxx2ycxc13abAIIAaIICCCyxxyyy2同理：注意！C点必须为截面形心。AbIICxx214例3-1求图示圆对其切线AB的惯性矩.解：求解此题有两种方法：一是安定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。d645166424442dddAdIIxABxyOAxyxpIIIdI2324644dIIyx15二、组合截面的惯性矩和惯性积xixIIyiyIIxyixyII例I-3-2计算图示箱式截面对水平形心轴z的惯性矩。zI5050·Cz(mm)50016·2C425内Cy5050·400外Cy·1CCzyyz解：选参考系确定zy形心位置：500800400400550425369mm500800400550y2380050012800500yyICz外外500172355040012550400CCzyyI内内410mm1054.1内外zzzIII18zzy解：644DIIzy外外644dIy内2242464dddIz内组合内外zzzIII内外yyyIII(mm)代入D=80mm,d=20mm得：46mm1001.2yI46mm100.2zIdyIzI例3-3求图示带圆孔的圆形截面和，D=80mm，d=20m。D191.4惯性矩、惯性积的转轴公式cossinsincos11yxyyxx一、惯性矩和惯性积的转轴定理2sin2cos221xyyxyxxIIIIII202sin2cos221xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIIIyxyxIIII112sin2cos221xyyxyxxIIIIII21二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到=0时，若02cos2sin20000xyyxyxIIII则与0对应的旋转轴x0y0称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩称为主惯性矩。yxxyIII22tan0222200xyyxyxyxIIIIIII主惯性矩：222、形心主轴和形心主惯性矩主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩。CCCCyxyxIII22tan000CCyxII2222CCCCCCyxyxyxIIIII形心主惯性矩：形心主轴：233、求截面形心主惯性矩的方法、建立坐标系。、计算面积和面积矩、求形心位置。AAyASyAAxASxiixiiy、求形心主惯性矩222200CCCCCCCCyxyxyxyxIIIIIIICCCCyxyxIII22tan0、求形心主轴方向—0、建立形心坐标系，求：CCCCyxyxIII、、24例4-1在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解：、建立坐标系如图。、求形心位置。dddddAAyyAAAxxiiii177.0434200222db2dxyOxCyCx1、建立形心坐标系，求：CCCCyxyxIII、、25便是形心主惯性矩。轴便是形心主轴；、、CCCCyxCCyxIIyxI04224223685.0])177.05.0(464[)177.0(312)2(5.1ddddddddd])5.0([221ydAIyAIIIIxxxxxCCC圆圆矩矩圆矩443513.064122)5.1(ddddIIICCCyyy圆矩26例4-2电线铁塔基座采用四个等边角钢组成，10160，m3a试计算基座的形心主惯性矩。z0z1zyaa解：AzaIIzz202442cm52.2677710)1.66864853.779(4502.3131.415053.7794所以，组合截面可以大大提高截面惯性矩。8.85753.7791.668648单个形心惯性矩平衡项惯性矩作业：3－2（e）3－627