【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《抛物线》

【2014年高考会这样考】1．考查抛物线的定义、方程，常与求参数和最值等问题相结合．2．考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题．3．多与向量交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．第6讲抛物线抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练抛物线的定义抛物线的标准方程和几何性质考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】抛物线的焦点弦问题抛物线定义及其应用抛物线的标准方程及几何性质B级有关抛物线焦点弦的解题技巧单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲选择题填空题解答题、、、321选择题填空题解答题、、、321考点梳理1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的_______其数学表达式：____________________________________相等准线|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．考点梳理2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离顶点O(0,0)对称轴x＝0y＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R性质开口方向向右向左向上向下一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．一个重要转化助学微博六个常见结论直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．①y1y2＝－p2，x1x2＝p24.②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2x1x2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.③1|AF|＋1|BF|为定值2p.④弦长AB＝2psin2α(α为AB的倾斜角)．⑤以AB为直径的圆与准线相切．⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.1．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是()．A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x2．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()．A.34B．1C.54D.743．(2012·四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()．A．22B．23C．4D．254．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．5．（2013.新乡模拟）若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x26－y23＝1的右焦点重合，则p的值为________．考点自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解CCBy2＝4x123456【例1】►已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．【审题视点】解考向一抛物线定义及其应用由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题．【方法锦囊】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵62，∴A在抛物线内部．如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．【训练1】设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．【审题视点】解析考向一抛物线定义及其应用由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，利用梯形中位线定理即得【方法锦囊】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．∵抛物线的顶点为O(0,0)，p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于|PB|＋|PF|.如图，|PB|＋|PF|≥|BF|，当B，P，F三点共线时取得最小值，时|BF|＝－1－12＋1－02＝5.答案5综上可知抛物线方程为y2＝－8x或x2＝－y考向二抛物线的标准方程及几何性质【例2】►(1)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．(2)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()．A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【审题视点】(1)按焦点所在位置分类讨论；解(1)由于点P在第三象限．①当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.②当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把点P(－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p×(－4)．解得p＝12.∴抛物线方程为x2＝－y.考向二抛物线的标准方程及几何性质【审题视点】解【方法锦囊】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(2)抛物线的准线方程为y＝－2，焦点F的坐标为(0,2)．(2)由|FM|大于焦点到准线的距离，再结合抛物线定义可求．∵以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，∴|FM|4.据抛物线的定义知：|FM|＝2＋y0，∴2＋y04，∴y02.【例2】►(1)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．(2)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()．A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)C【训练2】(2013·郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()．A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，考向二抛物线的标准方程及几何性质解析A1B1由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，30°连接A1F则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，F1设l交x轴于K，K则|KF|＝|A1F1|＝12|AA1|＝12|AF|，即p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.【例3】►已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．考向三抛物线的焦点弦问题解【审题视点】(1)利用焦点弦长公式可解；(2)设出C点坐标，找出关于C点坐标的关系式，代入抛物线方程可解．(1)直线AB的方程是y＝22x－p2，与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横(或纵)坐标的和还是与交点横(或纵)坐标的差．这是正确解题的关键．【方法锦囊】与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＋9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；设C(x3，y3)，则OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y23＝8x3，又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.【训练3】若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．解析由题意得p＝2，直线AB过抛物线的焦点，考向三抛物线的焦点弦问题则|AB|＝2psin2α＝2×2222＝8(α为直线AB的倾斜角)．设P－y204，y0，则点P到直线AB的距离为d＝y204＋y0＋12，∴△PAB的面积S＝12|AB|·d＝|y20＋4y0＋4|2＝y0＋222≥22，即△PAB的面积的最小值是22.方法优化14——有关抛物线焦点弦的解题技巧揭秘3年高考【命题研究】通过近三年的高考试题分析，选择题或填空题主要考查抛物线的基础知识(定义、方程、对称性等)，难度中等，解答题主要以直线与抛物线的位置关系的形式出现．第1问也可以是求抛物线的方程，难度较大．揭秘3年高考【教你审题】【真题探究】►(2012·安徽)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()．A.22B.2C.322D．22[一般解法]第1步由抛物线定义及|AF|＝3求A点坐标；第2步求直线AB的方程；第3步联立直线AB与抛物线y2＝4x的方程求B点横坐标；第4步由公式求△AOB的面积．如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝22，∴A(2,22)，∴直线AF的方程为y＝22(x－1)．联立直线与抛物线的方程y＝22x－1，y2＝4x，解之得x＝12，y＝－2或x＝2，y＝22.由图知B12，－2，∴S△AOB＝12|OF|·|yA－yB|＝12×1×|22＋2|＝322.故选C.揭秘3年高考.[反思][优美解法]由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2,22)，则S△OAF＝2，又知0S△OBFS△OAF＝2，故2S△AOB22，结合选项知选C.解决与抛物线的焦点弦有关的问题，如果能用到一些常用结论，就会带来意想不到的效果，而对于一些客观题采用排除法能快速正确的找出答案．【真题探究】►(2012·安徽)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()．A.22B.2C.322D．22【教你审题】第1步由抛物线定义及|AF|＝3求A点坐标；第2步求直线AB的方程；第3步联立直线AB与抛物线y2＝4x的方程求B点横坐标；第4步由公式求△AOB的面