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第二章平面力系平面汇交力系的合成与平衡平面力系平面力偶系的合成与平衡平面任意力系的合成与平衡共点力系力偶系§2–1力系的基本类型共点力系——各力均作用于同一点的力系。力偶——作用线平行、指向相反而大小相等的两个力。力偶系——若干个力偶组成的力系。平面任意力系——各力的作用线都在同一平面内的力系。否则为空间力系。§2–2共点力系合成与平衡的几何法1、合成的几何法:AF2F1F4F3表达式:RF1BF2CF3DF4EAF1、F2、F3、F4为平面共点力系:4321FFFFR把各力矢首尾相接,形成一条有向折线段(称为力链)。加上一封闭边,就得到一个多边形,称为力多边形。2、力的多边形规则:§2–2共点力系合成与平衡的几何法RF1BF2CF3DF4EA空间共点力系和平面情形类似,在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。给实际作图带来困难。§2–2共点力系合成与平衡的几何法RF1BF2CF3DF4EA1、共点力系的合成结果0F该力系的力多边形自行闭合,即力系中各力的矢量和等于零。共点力系可以合成为一个力,合力作用在力系的公共作用点,它等于这些力的矢量和,并可由这力系的力多边形的封闭边表示。nii1F矢量的表达式:R=F1+F2+F3+···+Fn2、共点力系平衡的充要几何条件:§2–2共点力系合成与平衡的几何法§2–2共点力系合成与平衡的几何法AF2F1F4F3RF1BF2CF3DF4EA反之,当投影Fx、Fy已知时,则可求出力F的大小和方向:§2–3力的投影.力沿坐标轴的分解一、力在坐标轴上的投影:cosxFFcosFFy2y2xFFFFFFFyxcoscos结论:力在某轴上的投影,等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。yb´a´abFOxBFxFyAF2F1(a)F3F1F2RF3xABCD(b)合力在任一轴上的投影,等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。证明:以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3如图。合力投影定理:§2–4共点力系合成与平衡的解析法合力R在x轴上投影:F1F2RF3xABCD(b)推广到任意多个力F1、F2、Fn组成的平面共点力系,可得:abcd各力在x轴上投影:§2–4共点力系合成与平衡的解析法abFx1bcFx2dcFx3dcbcabadRxxxxxFFFR321xnxxxxxFFFFFR321ynyyyyFFFFR21合力的大小2222yxyxFFRRR合力R的方向xyFFtg根据合力投影定理得§2–4共点力系合成与平衡的解析法共点力系平衡的充要解析条件:力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。§2–4共点力系合成与平衡的解析法平面共点力系的平衡方程:0xF0yF投影法的符号法则:当由平衡方程求得某一未知力的值为负时,表示原先假定的该力指向和实际指向相反。解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体,画受力图。分离体选取应最好含题设的已知条件。2.建立坐标系。3.将各力向各个坐标轴投影,并应用平衡方程∑Fx=0,∑Fy=0,求解。§2–4共点力系合成与平衡的解析法§2–5力偶及其性质F1F2d一、力偶和力偶矩1、力偶——大小相等的二反向平行力。⑴、作用效果:引起物体的转动。⑵、力和力偶是静力学的二基本要素。力偶特性二:力偶只能用力偶来代替(即只能和另一力偶等效),因而也只能与力偶平衡。力偶特性一:力偶中的二个力,既不平衡,也不可能合成为一个力。工程实例§2–5力偶及其性质2、力偶臂——力偶中两个力的作用线之间的距离。3、力偶矩——力偶中任何一个力的大小与力偶臂d的乘积,加上正负号。F1F2d力偶矩正负规定:若力偶有使物体逆时针旋转的趋势,力偶矩取正号;反之,取负号。在平面内,力偶矩是代数量量纲:力×长度,牛顿•米(N•m).力偶三要素:力偶矩的大小;力偶的转向;力偶的作用平面。§2–5力偶及其性质Fdm二、力偶的等效条件同一平面上力偶的等效条件§2–5力偶及其性质FdFd因此,以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。=作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。1、力偶可以在作用面内任意转移,而不影响它对物体的作用效应。2、在保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下,可以任意改变力和力偶臂的大小,而不影响它对物体的作用由上述推论可知,在同一平面内研究有关力偶的问题时,只需考虑力偶矩,而不必研究其中力的大小和力偶臂的长短。§2–5力偶及其性质综上所述,可以得出下列两个重要推论:平面力偶系可合成为一合力偶。合力偶矩的大小等于各已知力偶矩的代数和。inmmmmM21一、力偶系的合成§2-6力偶系的合成与平衡力偶系中各力偶矩的代数和等于零。0im二、平面力偶系平衡的充要条件§2-6力偶系的合成与平衡例题图示的铰接四连杆机构OABD,在杆OA和BD上分别作用着矩为m1和m2的力偶,而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r,DB=2r,α=30°,不计杆重,试求m1和m2间的关系。Dm2BNDSBAOm1NOSABAOBDαm1m2A§2-6力偶系的合成与平衡解:杆AB为二力杆。分别写出杆AO和BD的平衡方程:§2-6力偶系的合成与平衡ααDm2BNDSBAOm1NOSABA0cos1rSmAB0cos22rSmBA,0m122mmSSBAAB§3–2FAOdFAOdFFmAOF==把力F作用线向某点O平移时,须附加一个力偶,此附加力偶的矩等于原力F对点O的矩。证明:一、力线平移定理:FFFFmFdm0§2–7力线平移定理二、几个性质:1、当力线平移时,力的大小、方向都不改变,但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。2、力线平移的过程是可逆的,即作用在同一平面内的一个力和一个力偶,总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。§2–7力线平移定理§2–8平面任意力系的简化•主矢与主矩A3OA2A1F1F3F21F2F3Fm1Om2m3RLOO==应用力线平移定理,可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O的简化。点O称为简化中心。一、力系向给定点O的简化共点力系F1、F2、F3的合成结果为一作用点在点O的力R。这个力矢R称为原平面任意力系的主矢。附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶,这力偶的矩用LO代表,称为原平面任意力系对简化中心O的主矩。§2–8平面任意力系的简化•主矢与主矩3213210FmFmFmmmmLooo321321FFFFFFR结论:平面任意力系向面内任一点的简化结果,是一个作用在简化中心的主矢;和一个对简化中心的主矩。推广:平面任意力系对简化中心O的简化结果主矩:§2–8平面任意力系的简化•主矢与主矩FFFFRn21FmFmFmFmLonooo210主矢:二、几点说明:1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。2、平面任意力系的主矩与简化中心O的位置有关。因此,在说到力系的主矩时,一定要指明简化中心。§2–8平面任意力系的简化•主矢与主矩§2–8平面任意力系的简化•主矢与主矩方向余弦:2、主矩Lo可由下式计算:三、主矢、主矩的求法:1、主矢可用力多边形规则作图求得,或用解析法计算。§2–8平面任意力系的简化•主矢与主矩FmFmFmFmLonooo2102222yxyxFFRRRRFxRx,cosRFyRy,cos==LOORORRRRLoAORRLoA1、R=0,而LO≠0,原力系合成为力偶。这时力系主矩LO不随简化中心位置而变。2、LO=0,而R≠0,原力系合成为一个力。作用于点O的力R就是原力系的合力。3、R≠0,LO≠0,原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下:§2–9平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理简化结果的讨论RFmRLAO00综上所述,可见:4、R=0,而LO=0,原力系平衡。⑴、平面任意力系若不平衡,则当主矢主矩均不为零时,则该力系可以合成为一个力。⑵、平面任意力系若不平衡,则当主矢为零而主矩不为零时,则该力系可以合成为一个力偶。§2–9平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩,等于这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。§2–9平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理合力矩定理FmRmooyoxooFmFmFmxxoyFFmyyoxFFmyxOyFxFFxyABF1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°例题在长方形平板的O、A、B、C点上分别作用着有四个力:F1=1kN,F2=2kN,F3=F4=3kN(如图),试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果,以及该力系的最后的合成结果。解:取坐标系Oxy。1、求向O点简化结果:①求主矢R:§2–9平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理598.030cos60cos432FFFFRxx614.0cosRRxx、R794022.RRRyx'x652,R789.0cosRRyy、R'y5437,RROABCxy§2–9平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理768.0213232130sin60sin421FFFFRyyF1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°②求主矩:FoOmL5.030sin3260cos2432FFF(2)、求合成结果:合成为一个合力R,R的大小、方向与R’相同。其作用线与O点的垂直距离为:m51.0RLdoR/OABCxyLoRd§2–9平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°0,0,0FoyxmFF平衡方程其他形式:0,0,0FFBAxmmF0,0,0FFFCBAmmmA、B的连线不和x轴相垂直。A、B、C三点不共线。平面任意力系平衡的充要条件:力系的主矢等于零,又力系对任一点的主矩也等于零。平衡方程:§2–10平面任意力系的平衡条件和平衡方程解:1、取伸臂AB为研究对象2、受力分析如图yTPQEQDxBAECDFAyFAxαaαbBFACQDQEl例题伸臂式起重机如图所示,匀质伸臂AB重P=2200N,吊车D、E连同吊起重物各重QD=QE=4000N。有关尺寸为:l=4.3m,a=1.5m,b=0.9m,c=0.15m,α=25°。试求铰链A对臂AB的水平和垂直反力,以及拉索BF的拉力。§2–10平面任意力系的平衡条件和平衡方程3、选列平衡方程::0xF0cosTFAx:0yF0sinTQPQFEDAy:0FmA0sincos2lTcTblQlPaQED4、联立求解,可得:T=12456NFAx=11290NFAy=4936N§2–10平面任意力系的平衡条件和平衡方程yTPQEQDxBAECDFAyFAxα解:1、取梁AB为研究对象。2、受力分析如图,其中Q=q.AB=100×3=300N;作用在AB的中点C。BADQNA
本文标题:第二章-平面力系
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