随机信号分析_第五章_窄带随机过程

第五章窄带随机过程内容：一、信号的表示方法及希尔伯特变换二、窄带随机过程的表示方法三、窄带随机过程的的有关概率密度对于一个平稳的随机过程，如果其功率谱密度在频率轴的某个区域之外全部为0，则称其为限带随机过程。根据实际功率谱分布区域的不同，可以分为低通过程和带通过程两大类。如果平稳随机过程X(t)的功率谱密度为：则称X(t)为低通过程。othersSScXX,0||),()(SX(ω)0ωωc-ωc如果X(t)的功率谱密度为：则称X(t)为带通过程。othersSSccXX,0||),()(00SX(ω)0ωω0+ωcω0ω0-ωc-ω0-ω0-ωc-ω0+ωc如果ωcω0，则称X(t)为高频窄带随机过程，简称窄带过程。有时也称为准单色过程。目前通信中常用的高频调制信号就属于窄带随机过程。5.1信号的表示方法我们实际观测到的随机信号通常都是实随机过程，是物理存在的。但是在某些情况下，把它表示成复数形式即复随机过程，对于分析问题更方便一些。我们可以把确定信号看作是一个特殊的复随机信号。一、正弦信号的复数表示方法无线电技术中最常用的基本信号就是正弦信号。包括正弦型和余弦型，它们的复数表示形式统称为复正弦信号。简单的正弦信号可以表示为：s(t)=acos(ω0t+θ)=acosφ(t)其中φ(t)＝ω0t+θ，a、θ、ω0都为实常数。s(t)为实信号，是t的实值函数。5.1.1复信号用复数表示为：s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+e-jφ(t)]/2因为所以s(t)的频谱为：X(ω)=a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2|X(ω)|=a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2说明正弦型信号包含正负两种频率成分，其频谱为对称的两根单一谱线。)(00tje定义复指数函数：式中，称为复包络。可以看出s(t)是的实部，即：某些情况下，用复指数形式来分析问题更加简便，可以简化信号和滤波器的分析。tjtjjtjeaeaeaets00~)(~)(jaea~)(~ts)](~Re[)(tsts复信号的频谱为：说明复信号只包含正的频率成分，而强度为X(ω)的两倍。也可以分解为：其中s’(t)=asinφ(t)=asin(ω0t+θ)，为与s(t)正交的分量。)(~)(~0aX)(~ts)(~ts)(~ts)()()(~'tjststs二、任意信号的复数表示方法设s(t)为任意的实信号，频谱为X(ω)。为了简化分析，用复信号来表示，它必须满足：)(~ts的频谱。为式中(t)s~)(~000)(2)(~.2)](~Re[)(.1XXXtsts可以证明：满足上面要求的是存在的，称为解析信号。把它用解析表达式表示为：可以推导出：上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做)(~ts)(ˆ)()(~tsjtstsdtsts)(1)(ˆ)]([)(ˆtsHts对于正弦型信号：s(t)=acos(ω0t+θ)它的希尔伯特变换为：和前面比较可以看出，正弦型信号的复指数函数与解析形式表示的复信号是完全相同的。但是其它实信号并不一定是这样。)sin()(ˆ0tats三、高频窄带信号的复数表示方法高频窄带信号是指信号的频谱限制在载波频率±ω0附近的一个频带范围内，且此范围远远小于载波频率。可以表示为：s(t)=A(t)cos[ω0t+θ(t)]式中的A(t)和θ(t)分别代表信号的振幅和相位分量，它们都是低频限带信号。和载波相比，变化要缓慢得多。信号表达式还可以写成：s(t)=sc(t)cosω0t+ss(t)sinω0t其中sc(t)=A(t)cos[θ(t)]ss(t)=A(t)sin[θ(t)]两者相互正交，也都是低频限带信号。窄带信号表示成复信号也是有两种方法：复解析表示法和复指数表示法。1.复解析表示设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω)。定义窄带信号s(t)的解析信号为：式中。)(~tsH)(ˆ)()(~tsjtstsH)]([)(ˆtsHts|X(ω)|0ωω0+ωcω0ω0-ωc-ω0-ω0-ωc-ω0+ωc|XH(ω)|0ωω0+ωcω0ω0-ωc~2.复指数表示设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω)。定义窄带信号s(t)的复指数函数为：的频谱为：)(~tse)()()()(~)(~)()(~)()]([00tjstsetAtAetAetAtssctjtjttje＝其中)(~tse)(~)(~0AXe可以得到：说明用复指数形式来表示窄带信号的时候，其实部就是原来的实窄带信号，但是其频谱发生了改变。当窄带信号的带宽远远小于载波频率的时候，误差可以近似忽略不计。)(~)(2)(~)(~0*0AXAXe定义：在区间(-∞t∞)内给定实值函数x(t)，其希尔伯特变换记做或者H[x(t)]，有：5.1.2希尔伯特变换)(ˆtxdtxdtxtxtxH)(1)(1)(ˆ)]([1.希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。等效于输入信号通过一个冲激响应为h(t)=1/(πt)的线性系统。即：该系统的传输函数为：希尔伯特变换的性质ttxtx1)()(ˆ0,0,)sgn()(jjjH进一步得到其幅频响应和相频响应为：上式表明，希尔伯特变换相当于一个90°的移相器。它对所有频率分量的幅度响应为1，对正频率分量（包括0频率）移相-90°，对负频率分量移相90°。0,2/0,2/)(1|)(|H2.希尔伯特变换的逆变换为：dtxdtxtxHtx)(ˆ1)(ˆ1)](ˆ[)(1定义：给定任一实随机过程X(t)，定义一复随机过程为：其中为X(t)的希尔伯特变换。则也是一个实随机过程，称为X(t)的复解析表示式，或称其为解析过程。5.1.3解析过程及其性质)(~tX)(ˆ)()(~tXjtXtX)(ˆtX)(ˆtX)(~tX1.若X(t)为广义平稳（实）过程，则也是广义平稳（实）过程，且两者联合平稳。2.式中，表示的自相关函数。分别表示和X(t)的功率谱密度。解析过程的性质)()()()(ˆˆXXXXSSRR)(ˆtX)](ˆ)(ˆ[)(ˆtXtXERX)(ˆtX)()(ˆXXSS和)(ˆtX3.式中4.5.6.解析过程的性质的希尔伯特变换表示)()(ˆXXRR)](ˆ)([)()]()(ˆ[)(ˆˆtXtXERtXtXERXXXX)(ˆ)()(ˆ)(ˆˆXXXXXXRRRR)()(ˆˆXXXXRR)()(ˆˆXXXXRR0)0(ˆXXR7.式中8.9.解析过程的性质的自相关函数表示)(~)(~tXRX)]()([2)(ˆ~XXXXjRRR0,)(0,)()(ˆXXXXjSjSS0,00,)(4)(~XXSS5.2窄带随机过程的表示方法根据窄带随机过程的定义，其带宽Δω=2ωc，远远小于载波频率ω0。SX(ω)0ωω0+ωcω0ω0-ωc-ω0-ω0-ωc-ω0+ωcΔωX(t)t对于任一实随机过程X(t)，可以得到解析过程：其中为X(t)的希尔伯特变换。有：5.2.1窄带随机过程的莱斯(Rice)表示)(ˆ)()(~tXjtXtX)(ˆtX]cos)(ˆsin)([]sin)(ˆcos)([)(~00000ttXttXjttXttXetXtj令有：ttXttXtbttXttXta0000cos)(ˆsin)()(sin)(ˆcos)()(]cos)(sin)([]sin)(cos)([)]()([)(~00000ttbttajttbttaetjbtatXtj其实部为其中该式称为实平稳窄带随机过程的莱斯表示式。ttbttatX00sin)(cos)()(ttXttXtbttXttXta0000cos)(ˆsin)()(sin)(ˆcos)()(1.a(t)和b(t)都是实随机过程;2.E[a(t)]=E[b(t)]=0;3.a(t)和b(t)各自广义平稳且联合平稳，并且有a(t)和b(t)的性质0ˆ0sin)(cos)()()(XXXbaRRRR4.E[a2(t)]=E[b2(t)]=E[X2(t)]；5.6.Rab(0)=0;a(t)和b(t)的性质)()()()(cos)(ˆsin)()(00ababbaabXXabRRRRRRR7.8.9.LP[A]表示取A的低频部分。说明a(t)和b(t)都是缓慢变化的随机过程。特别的，如果SX(ω)关于中心频率±ω0对称的时候，有Sab(ω)＝0，则Rab(τ)＝0，即a(t)和b(t)正交。a(t)和b(t)的性质)]()([)()(00XXbaSSLPSS00sin)(cos)()(baaXRRR)]()([)(00XXabSSjLPS根据前面的讨论可以得到：其中：所以：5.2.2窄带随机过程表示为准正弦振荡)()()()()(~0tjtjetAtjbtaetX)()()()()()(22tatbarctgttbtatA)]([0)()(~ttjetAtX取其实部就可以得到随机过程X(t)：可以证明：当X(t)的功率谱带宽Δω远远小于其中心频率ω0的时候，A(t)和φ(t)都是缓慢变换（相对于cosω0t）的随机过程。)](cos[)()(0tttAtX5.3窄带高斯随机过程包络和相位的概率密度在实际的分析中，我们经常遇到用一个宽带随机过程去激励一个高频窄带线性系统（即窄带滤波器）的情况，其输出可以近似看作实一个窄带高斯随机过程。窄带高斯随机过程X(t)可以表示为准正弦振荡的形式：其中A(t)和φ(t)的概率密度就是我们经常要研究的对象。)](cos[)()(0tttAtX假设X(t)是一个窄带平稳的高斯实随机过程，具有零均值和方差σ2。莱斯表示式和准正弦振荡表示式之间有：5.3.1包络和相位的一维概率密度)()()()()()(22tatbarctgttbtatA设在任意时刻t，A(t)、φ(t)、a(t)和b(t)的采样值分别为At,φt,at和bt。它们之间的关系为：ttttttttttttttttttttAAhbAAhaabarctgbagbabagAsin),(cos),(),(),(212221如果X(t)为平稳高斯随机过程，at,bt有如下统计特性：1.at,bt都是高斯随机变量。因为：X(t)是平稳高斯随机过程，经过线性变换后，a(t)和b(t)也是平稳高斯过程，则at,bt都是高斯随机变量。一、求fab(at,bt)ttXttXtbttXttXta0000cos)(ˆsin)()(sin)(ˆcos)()(2.at,bt的均值都为0，即E[at]=E[bt]=0。3.at,bt具有相同的方差，都等于X(t)的方差σ2。4.at,bt相互独立，也就是正交，即Rab(0)=0。根据上面的性质，可以得到他们的联合概率密度为：2222222222121)()(),(tttAbatbtattabeebfafbaf应用随机变量变换公式得到：二、求fAφ(At,φt)tttttttAAAyxyxyxyxyyxxJcossinsincos),(),(221221112121其它且02002),